Question

17．如圖，AB是⊙O直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過點D、A分別作⊙O的切線交于點G，切線GD與AB延長線交于點E．
（1）求證：EF=ED；
（2）若AG=3$\sqrt{3}$，⊙O的半徑為3，求OF的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥DE，則∠EDF+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，則∠EDF+∠C=90°，由OC⊥AB，可得∠C+∠OFC=90°，由對頂角性質(zhì)，等量代換得出∠DFE=∠EDF，得出結(jié)論；
（2）先求得EF=ED，設(shè)DE=x，則EF=x，根據(jù)切線的性質(zhì)由AG為⊙O的切線得∠ODE=90°，再證明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比求得AE，OE，然后根據(jù)AE-OE=OA=3，求得x的值，進而求得OF．

解答 （1）證明：連接OD．
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠EDF+∠ODC=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠C+∠EDF=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠C+∠OFC=90°，
∵∠OFC=∠DFE，
∴∠C+∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠EDF，
∴EF=ED；

（2）解：∵AG，AD為⊙O的切線，
∴DG=AG=3$\sqrt{3}$，
又∵EF=ED，
設(shè)DE=x，則EF=x，
∵∠ODE=∠GAE，∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴$\frac{OD}{AG}$=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{OE}{GE}$，即$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{x}{AE}$=$\frac{OE}{3\sqrt{3}+x}$，
∴AE=$\sqrt{3}$x，OE=3$+\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵AE-OE=OA=3，
∴$\sqrt{3}$x-（3+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）=3，解得x=3$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$x=9，
∴OF=AE-EF-OA=9-3$\sqrt{3}$-3=6-3$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了切線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用方程思想是解答此題的關(guān)鍵．