Question

7．現(xiàn)有正方形ABCD和一個以O(shè)為直角頂點的三角板，移動三角板，使三角板的直角邊所在直線分別與直線BC、CD交于點M、N．
（1）如圖1，若點O與點A重合，則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是OM=ON；
（2）如圖2，若點O在正方形的中心（即兩對角線的交點），則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；
（3）如圖3，若點O在正方形的內(nèi)部（含邊界），當(dāng)OM=ON時，請?zhí)骄奎cO在移動過程中可形成什么圖形？請說理證明．
（4）如圖4是點O在正方形外部的一種情況．當(dāng)OM=ON時，請你就“點O的位置在各種情況下（含外部）移動所形成的圖形”提出一個正確的結(jié)論．（不必說理）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△OBM與△ODN全等，可以得出OM與ON相等的數(shù)量關(guān)系；
（2）連接AC、BD，則通過判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON；
（3）過點O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通過判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)點O在∠C的平分線上；
（4）可以運用（3）中作輔助線的方法，判定三角形全等并得出結(jié)論．

解答 解：（1）若點O與點A重合，則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是：OM=ON；
理由：∵四邊形ABCD時正方形，
∴AB=AD，∠ADC=∠ABM=∠BAD=90°，
∵∠MON=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM和△ADN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠DAN}\\{AB=AD}\\{∠ABM=∠ADN}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△ADN，
∴OM=ON，
故答案為：OM=ON，

（2）仍成立．
證明：如圖2，連接AC、BD，則
由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°
∵∠MON=90°
∴∠BOM=∠CON
在△BOM和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBM=∠OCN}\\{BO=CO}\\{∠BOM=∠CON}\end{array}\right.$
∴△BOM≌△CON（ASA）
∴OM=ON
（3）如圖3，過點O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分別為E、F，則∠OEM=∠OFN=90°
又∵∠C=90°
∴∠EOF=90°=∠MON
∴∠MOE=∠NOF
在△MOE和△NOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OEM=∠OFN}\\{∠MOE=∠NOF}\\{OM=ON}\end{array}\right.$
∴△MOE≌△NOF（AAS）
∴OE=OF
又∵OE⊥BC，OF⊥CD
∴點O在∠C的平分線上，
∵點O在正方形的內(nèi)部（含邊界）
∴O在移動過程中可形成線段AC

（4）如圖4，過點O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分別為E、F，則∠OEM=∠OFN=90°
又∵∠C=90°
∴∠EOF=90°=∠MON
∴∠MOE=∠NOF
在△MOE和△NOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OEM=∠OFN}\\{∠MOE=∠NOF}\\{OM=ON}\end{array}\right.$
∴△MOE≌△NOF（AAS）
∴OE=OF
又∵OE⊥BC，OF⊥CD
∴點O在∠C的平分線上，
∵點O在正方形外部，
∴O在移動過程中可形成直線AC中除去線段AC的部分．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．解題時需要運用全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線的判定定理．