Question

17．拓廣探索：七年某班師生為了解決“2²⁰¹⁴個(gè)位上的數(shù)字是4．”這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析、猜想、驗(yàn)證、歸納等活動(dòng)，從而使問(wèn)題得以解決，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法．師生共同探索如下：
（1）認(rèn)真填空，仔細(xì)觀察．
因?yàn)?¹=2，所以2¹個(gè)位上的數(shù)字是2；因?yàn)?nbsp;2²=4，所以2²個(gè)位上的數(shù)字是4；因?yàn)?nbsp;2³=8，所以 2³個(gè)位上的數(shù)字是8；因?yàn)?nbsp;2⁴=16，所以2⁴個(gè)位上的數(shù)字是6；因?yàn)?nbsp;2⁵=32，所以 2⁵個(gè)位上的數(shù)字是2；因?yàn)?nbsp;2⁶=64，所以2⁶個(gè)位上的數(shù)字是4；
（2）小明是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的學(xué)生，他利用上述方法繼續(xù)探索，馬上發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，于是猜想：2¹⁰個(gè)位上的數(shù)字是4，你認(rèn)為對(duì)嗎？
（3）利用上述得到的規(guī)律，可知：2²⁰¹³個(gè)位上的數(shù)字是2．
（4）利用上述研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想與方法，試求：3²⁰¹⁴個(gè)位上的數(shù)字是9．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則直接求出各數(shù)即可；
（2）利用（1）中所求得出尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)分別為：2，4，8，6，進(jìn)一步計(jì)算得出2¹⁰個(gè)位上的數(shù)字是4；
（3）利用（2）中的規(guī)律得出答案；
（4）利用（2）中規(guī)律得出3的指數(shù)變化與尾數(shù)的關(guān)系．

解答 解：（1）因?yàn)?¹=2，所以2¹個(gè)位上的數(shù)字是2；
因?yàn)?²=4，所以2²個(gè)位上的數(shù)字是4；
因?yàn)?³=8，所以2³個(gè)位上的數(shù)字是8；
因?yàn)?⁴=16，所以2⁴個(gè)位上的數(shù)字是6；
因?yàn)?⁵=32，所以2⁵個(gè)位上的數(shù)字是2；
因?yàn)?⁶=64，所以2⁶個(gè)位上的數(shù)字是4；

（2）由（1）可得出：尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)分別為：2，4，8，6尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)，
10÷4=2…2，
則2¹⁰個(gè)位上的數(shù)字與第2個(gè)數(shù)據(jù)相等是4；

（3）∵2013÷4=503…1，
∴2²⁰¹³個(gè)位上的數(shù)字與第1個(gè)尾數(shù)相等是2；

（4）因?yàn)?¹=3，所以3¹個(gè)位上的數(shù)字是3；
因?yàn)?²=9，所以3²個(gè)位上的數(shù)字是9；
因?yàn)?³=27，所以3³個(gè)位上的數(shù)字是7；
因?yàn)?⁴=81，所以3⁴個(gè)位上的數(shù)字是1；
因?yàn)?⁵=243，所以3⁵個(gè)位上的數(shù)字是3；
…
∴尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)，
∵2014÷4=503…2，
∴3²⁰¹⁴個(gè)位上的數(shù)字是9．
故答案為：4；16，6；32，2；64，4；2；9．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了數(shù)字尾數(shù)特征，根據(jù)指數(shù)的變化得出位置的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．