Question

18．如圖，∠AOB=90°，且點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＜0），y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的圖象上，且k₁，k₂分別是方程x²-x-6=0的兩根．
（1）求k₁，k₂的值；
（2）連接AB，求tan∠OBA的值．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-x-6=0求出方程兩根，即可得到k₁，k₂的值；
（2）過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D．易證△ACO∽△ODB，由相似三角形的性質(zhì)可求出OA：OB的值，進(jìn)而可求出tan∠OBA的值．

解答 解：（1）∵k₁，k₂分別是方程x²-x-6=0的兩根，
∴解方程x²-x-6=0，得x₁=3，x₂=-2．結(jié)合圖象可知：k₁＜0，k₂＞0，
∴k₁=-2，k₂=3．  
（2）如圖，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D．
由（1）知，點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$（x＜0），y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴S_△ACO=$\frac{1}{2}$×|-2|=1，S_△ODB=$\frac{1}{2}$×3=1.5．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD．
又∵∠ACO=∠ODB=90°，
∴△ACO∽△ODB．
∴$\frac{{S}_{△ACO}}{{S}_{△OBD}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$（舍負(fù)取正），
即$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴在Rt△AOB中，tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造相似三角形．