Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q為坐標(biāo)系上任意一點(diǎn)，某圖形上的所有點(diǎn)在∠Q的內(nèi)部（含角的邊），這時(shí)我們把∠Q的最小角叫做該圖形的視角．如圖1，矩形ABCD，作射線OA，OB，則稱∠AOB為矩形ABCD的視角．

（1）如圖1，矩形ABCD，A（-$\sqrt{3}$，1），B（$\sqrt{3}$，1），C（$\sqrt{3}$，3），D（-$\sqrt{3}$，3），直接寫出視角∠AOB的度數(shù)；
（2）在（1）的條件下，在射線CB上有一點(diǎn)Q，使得矩形ABCD的視角∠AQB=60°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖2，⊙P的半徑為1，點(diǎn)P（1，$\sqrt{3}$），點(diǎn)Q在x軸上，且⊙P的視角∠EQF的度數(shù)大于60°，若Q（a，0），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，設(shè)AB交y軸于E．首先證明OA=OB，在Rt△AEO中，求出∠OAE的度數(shù)即可．
（2）如圖2中，連結(jié)AC，在射線CB上截取CQ=CA，連結(jié)AQ．只要證明△ACQ是等邊三角形即可解決問題．
（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)，設(shè)⊙P與y軸相切于點(diǎn)E，OF是⊙P的切線，可以證明∠EQF=60°，此時(shí)Q（0，0），如圖4，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)FQ⊥x軸時(shí)，∠EQF=60°，此時(shí)Q（2，0），由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，設(shè)AB交y軸于E．

∵A（-$\sqrt{3}$，1），B（$\sqrt{3}$，1），
∴OE⊥AB，EA=EB，
∴OA=OB，
在Rt△OAE中，tan∠OAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°．

（2）如圖2中，連結(jié)AC，在射線CB上截取CQ=CA，連結(jié)AQ．

∵AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，
∴AC=4，
∴∠ACQ=60°．
∴△ACQ為等邊三角形，
即∠AQC=60°，
∵CQ=AC=4，
∴Q（$\sqrt{3}$，-1）．

（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)，設(shè)⊙P與y軸相切于點(diǎn)E，OF是⊙P的切線，
∵P（1，$\sqrt{3}$），
∴PE=1，OE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠POE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠POE=∠POF=30°
∴∠EQF=60°，此時(shí)Q（0，0），
如圖4，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)FQ⊥x軸時(shí)，∠EQF=60°，
∴Q（2，0），
∴a的取值范圍是0＜a＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)正確畫出圖形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．