Question

4．如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為直角梯形，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）
（1）B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\sqrt{3}$），∠COA的度數(shù)為60度．
（2）邊長為1的正方形ODEF的頂點(diǎn)F，D分別在x，y軸上，現(xiàn)將正方形沿著線段OC，CB翻滾（無滑動）請在備用圖中畫出翻滾過程中頂點(diǎn)E的運(yùn)動痕跡，并求出運(yùn)動的路程．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)C作CM⊥OA，根據(jù)A和C點(diǎn)的坐標(biāo)可直接得出B點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)求出OM和CM的值，再根據(jù)勾股定理求出OC，從而得出∠COA的度數(shù)；
（2）頂點(diǎn)E的運(yùn)動痕跡有2段：①以O(shè)E長為半徑，圓心角為30°的弧長；②以DE長為半徑，圓心角為45°的弧長；把兩者的長度相加即可求解．

解答 解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CM⊥OA，
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\sqrt{3}$），
∴OM=1，CM=$\sqrt{3}$，
∴OC=2，
∴sin∠COA=$\frac{MC}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠COA=60°；

（2）如備用圖：
①以O(shè)E長為半徑，圓心角為30°的弧長，
在Rt△ODE中，OE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
90°-60°=30°，
$\frac{30×π×\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}π}{6}$；
②以DE長為半徑，圓心角為45°的弧長，
$\frac{45×π×1}{180}$=$\frac{π}{4}$；
運(yùn)動的路程為$\frac{\sqrt{2}π}{6}$+$\frac{π}{4}$=（$\frac{\sqrt{2}}{6}$+$\frac{1}{4}$）π．
故答案為：（2，$\sqrt{3}$），60．

點(diǎn)評 此題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，用到的知識點(diǎn)是勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形．