Question

13．勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．l955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票圖1所示．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗證勾股定理．在如圖2的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，點H在邊QR上，點D，E在邊PR上，點G，F(xiàn)在邊PQ上，則RQ=7+2$\sqrt{3}$，△PQR的周長等于27+13$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在直角△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC，進而由等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)及三角函數(shù)就可求得QR的長，在直角△QRP中運用三角函數(shù)即可得到RP、QP的長，就可求出△PQR的周長．

解答 解：延長BA交QR于點M，連接AR，AP．
∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，
∴△ABC≌△GFC，
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等邊三角形．
AC=AB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
則QH=HA=HG=AC=2$\sqrt{3}$．
在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．AM=HA•cos60°=$\sqrt{3}$．
在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．
∴QR=2$\sqrt{3}$+3+4=7+2$\sqrt{3}$．
∴QP=2QR=14+4$\sqrt{3}$．
PR=QR•$\sqrt{3}$=7$\sqrt{3}$+6．
∴△PQR的周長等于RP+QP+QR=27+13$\sqrt{3}$．
故答案為：7+2$\sqrt{3}$；27+13$\sqrt{3}$．

點評 考查了勾股定理的證明和含30度角的直角三角形，正確運用三角函數(shù)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．