Question

8．如圖，在Rt△AEG中，∠E=90°，∠EAG的平分數(shù)交EG于C，過C作AC的垂線交AG于B，以AB為直徑的⊙O交AE于F
（1）求證：EG是的切線；
（2）過C作AG的垂線，垂足為D，求證：EF=BD．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖，由AC平分∠EAG得到∠2=∠3，加上∠1=∠2，則∠1=∠3，于是可判斷OC∥AE，所以OC⊥EG，然后根據(jù)切線的判定可判斷EG是的切線；
（2）連接CF，根據(jù)角平分線的性質定理得到CE=CD，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質得到∠EFC=∠DBC，則可證明△EFC≌△DCB，所以EF=BD．

解答 證明：（1）連接OC，如圖，
∵AC平分∠EAG，
∴∠2=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EG，
∴OC⊥EG，
∴EG是的切線；
（2）連接CF，
∵AC平分∠EAG，CE⊥AE，CD⊥AB，
∴CE=CD，
∵∠CBD+∠AFC=180°，∠EFC+∠AFC=180°，
∴∠EFC=∠DBC，
在△EFC和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFC=∠DBC}\\{∠E=∠BDC}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△DCB，
∴EF=BD．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和三角形全等的判定與性質．