Question

8．如圖，⊙O的圓心在Rt△ABC的直角邊AC上，⊙O經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，與斜邊AB交于點(diǎn)E，連結(jié)BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，連結(jié)DF．
（1）求證：CO•CD=DE•BO；
（2）若⊙O的半徑為5，sin∠DFE=$\frac{3}{5}$，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）連接CE，證明△CBO∽△DEC，得到OC•CD=DE•BO；
（2）根據(jù)垂徑定理，EF=2EG，所以求出EG的長即得解．連接CE，則∠CED=90°，∠ECD=∠F．CD=10．根據(jù)三角函數(shù)可求EG得解．

解答 解：（1）證明；連接CE，
∵CD為⊙O的直徑，
∠CED=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠CED=∠BCA，
∵BC∥DE，
∴∠BOC=∠CED，
∴△CBO∽△DEC，
∴$\frac{OC}{DE}$=$\frac{BO}{CD}$，
∴OC•CD=DE•BO；

（2）∵∠F=∠ECO，CD=2•OC=10；
由于CD為⊙O的直徑，
∴在Rt△CDE中有：
ED=CD•sin∠ECO=CD•sin∠DFE=CE=$\sqrt{{CD}^{2}{-ED}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}{-6}^{2}}$=8，
在Rt△CEG中，$\frac{EG}{CE}$=sin∠ECO=$\frac{3}{5}$，
∴EG=$\frac{3}{5}$×8=$\frac{24}{5}$，
根據(jù)垂徑定理得：EF=2EG=$\frac{48}{5}$．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理及解直角三角形等知識點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，難度較大．