Question

2．【課本節(jié)選】
反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線．當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線兩個(gè)分支分別在一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減�。ê喎Q增減性）；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱（簡稱對稱性）．
這些我們熟悉的性質(zhì)，可以通過說理得到嗎？
【嘗試說理】
我們首先對反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的增減性來進(jìn)行說理．
如圖，當(dāng)x＞0時(shí)．
在函數(shù)圖象上任意取兩點(diǎn)A、B，設(shè)A（x₁，$\frac{k}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\frac{k}{{x}_{2}}$），
且0＜x₁＜x₂．
下面只需要比較$\frac{k}{{x}_{1}}$和$\frac{k}{{x}_{2}}$的大小．
$\frac{k}{{x}_{2}}$-$\frac{k}{{x}_{1}}$=$\frac{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，且 k＞0．
∴$\frac{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0．即$\frac{k}{x_2}$＜$\frac{k}{x_1}$．
這說明：x₁＜x₂時(shí)，$\frac{k}{{x}_{1}}$＞$\frac{k}{{x}_{2}}$．也就是：自變量值增大了，對應(yīng)的函數(shù)值反而變小了．
即：當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減�。�同理，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減�。�
（1）試說明：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$ （k＞0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
【運(yùn)用推廣】
（2）分別寫出二次函數(shù)y=ax² （a＞0，a為常數(shù)）的對稱性和增減性，并進(jìn)行說理．
對稱性：二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）的圖象關(guān)于y軸成軸對稱；
增減性：當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而減小．．
說理：①∵在二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）的圖象上任取一點(diǎn)Q（m，n），于是n=am²．
∴點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q₁（-m，n）．
而n=a（-m）²，即n=am²．
這說明點(diǎn)Q₁也必在在二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）的圖象上．
∴二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）的圖象關(guān)于y軸成軸對稱；
②在二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）的圖象上任取兩點(diǎn)A、B，
設(shè)A（m，am²），B（n，an²），且0＜m＜n．
則an²-am²=a（n+m）（n-m），
∵n＞m＞0，
∴n+m＞0，n-m＞0；
∵a＞0，
∴an²-am²=a（n+m）（n-m）＞0，即an²＞am²．
而當(dāng)m＜n＜0時(shí)，n+m＜0，n-m＞0；
∵a＞0，
∴an²-am²=a（n+m）（n-m）＜0．即an²＜am²．
這說明，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而減小；．
【學(xué)以致用】
（3）對于函數(shù)y=x²+$\frac{2}{x}$ （x＞0），
請你從增減性的角度，請解釋為何當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得最小值．

Answer 1

分析 （1）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上任取一點(diǎn)P（m，n），只需證明點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上即可；
（2）①在二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）的圖象上任取一點(diǎn)Q（m，n），只需證明點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)也在二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）的圖象上，就可得到二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）關(guān)于y軸對稱；②在二次函數(shù)y=ax² （a＞0，a為常數(shù)）的圖象上任取兩點(diǎn)A、B，設(shè)A（m，am²），B（n，an²），且0＜m＜n．只需運(yùn)用分類討論和作差法就可解決問題；
（3）只需運(yùn)用作差法分別討論0＜x＜1或x＞1時(shí)函數(shù)的增減性，就可解決問題．

解答 解：（1）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上任取一點(diǎn)P（m，n），
則mn=k．點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P₁（-m，-n）．
∵（-m）（-n）=mn=k，
∴點(diǎn)P₁也必在這個(gè)反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上．
∴反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

（2）答案分別為：
（對稱性）二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）的圖象關(guān)于y軸成軸對稱；
（增減性）當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而減�。�
（說理）①∵在二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）的圖象上任取一點(diǎn)Q（m，n），于是n=am²．
∴點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q₁（-m，n）．
而n=a（-m）²，即n=am²．
這說明點(diǎn)Q₁也必在在二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）的圖象上．
∴二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）的圖象關(guān)于y軸成軸對稱；
②在二次函數(shù)y=ax²（a＞0，a為常數(shù)）的圖象上任取兩點(diǎn)A、B，
設(shè)A（m，am²），B（n，an²），且0＜m＜n．
則an²-am²=a（n+m）（n-m），
∵n＞m＞0，
∴n+m＞0，n-m＞0；
∵a＞0，
∴an²-am²=a（n+m）（n-m）＞0，即an²＞am²．
而當(dāng)m＜n＜0時(shí)，n+m＜0，n-m＞0；
∵a＞0，
∴an²-am²=a（n+m）（n-m）＜0．即an²＜am²．
這說明，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而減��；

（3）在函數(shù)圖象上任意取兩點(diǎn)A、B，設(shè)A（x₁，x₁²+$\frac{2}{{x}_{1}}$），B（x₂，x₂²+$\frac{2}{{x}_{2}}$），
且0＜x₁＜x₂．
①當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，
則有$\frac{2}{{x}_{1}•{x}_{2}}$＞2，x₁+x₂＜2，x₁-x₂＜0，
∴x₁+x₂-$\frac{2}{{x}_{1}•{x}_{2}}$＜0，
∴（x₁²+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x₂²+$\frac{2}{{x}_{2}}$）=x₁²+$\frac{2}{{x}_{1}}$-x₂²-$\frac{2}{{x}_{2}}$=x₁²-x₂²+$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{2{x}_{2}-2{x}_{1}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-$\frac{2}{{x}_{1}•{x}_{2}}$）＞0，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y隨x的增大而減��；
②當(dāng)1＜x₁＜x₂時(shí)，
則有$\frac{2}{{x}_{1}•{x}_{2}}$＜2，x₁+x₂＞2，x₁-x₂＜0，
∴x₁+x₂-$\frac{2}{{x}_{1}•{x}_{2}}$＞0，
∴（x₁²+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x₂²+$\frac{2}{{x}_{2}}$）=x₁²+$\frac{2}{{x}_{1}}$-x₂²-$\frac{2}{{x}_{2}}$=x₁²-x₂²+$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{2{x}_{2}-2{x}_{1}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-$\frac{2}{{x}_{1}•{x}_{2}}$）＜0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大；
∴當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得最小值．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)的對稱性、增減性、因式分解等知識(shí)，運(yùn)用分類討論和作差法是解決本題的關(guān)鍵．