Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點，連接AB并延長至C，使BC=AB，過C作CD⊥x軸于點D，交線段OB于點E，已知CD=8，拋物線經(jīng)過O、E、A三點．
（1）∠OBA=90°．
（2）求拋物線的函數(shù)表達式．
（3）若P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個動點，以P、O、A、E為頂點的四邊形面積記作S，則S取何值時，相應的點P有且只有3個？

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理，直徑所對的圓周角等于90°，即可得出答案；
（2）利用（1）中的結(jié)論易得OB是的垂直平分線，易得點B，點C的坐標，由點O，點B的坐標易得OB所在直線的解析式，從而得出點E的坐標，用待定系數(shù)法得拋物線的解析式；
（3）利用（2）的結(jié)論易得點P的坐標，分類討論①若點P在CD的左側(cè)，延長OP交CD于Q，如右圖2，易得OP所在直線的函數(shù)關(guān)系式，表示出Q點的縱坐標，
得QE的長，表示出四邊形POAE的面積；②若點P在CD的右側(cè)，延長AP交CD于Q，如右圖3，易得AP所在直線的解析式，從而求得Q點的縱坐標，得QE求得四邊形POAE的面積，當P在CD右側(cè)時，四邊形POAE的面積最大值為16，此時點P的位置就一個，令$-\frac{3}{8}p^2+\frac{9}{4}p+15$=16，解得p，得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵OA是⊙O的直徑，
∴∠OBA=90°，
故答案為：90；

（2）連接OC，如圖1所示，
∵由（1）知OB⊥AC，又AB=BC，
∴OB是AC的垂直平分線，
∴OC=OA=10，
在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，
∴OD=6，
∴C（6，8），B（8，4）
∴OB所在直線的函數(shù)關(guān)系為y=$\frac{1}{2}$x，
又∵E點的橫坐標為6，
∴E點縱坐標為3，
即E（6，3），
拋物線過O（0，0），E（6，3），A（10，0），
∴設此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax（x-10），把E點坐標代入得：
3=6a（6-10），
解得a=-$\frac{1}{8}$．
∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{8}$x（x-10），即y=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{5}{4}$x；

（3）設點P（p，-$\frac{1}{8}$p²+$\frac{5}{4}$p），
①若點P在CD的左側(cè)，延長OP交CD于Q，如右圖2，
OP所在直線函數(shù)關(guān)系式為：y=（-$\frac{1}{8}$p+$\frac{5}{4}$）x
∴當x=6時，y=$-\frac{3}{4}p+\frac{15}{2}$，即Q點縱坐標為$-\frac{3}{4}p+\frac{15}{2}$，
∴QE=$-\frac{3}{4}p+\frac{15}{2}$-3=$-\frac{3}{4}p+\frac{9}{2}$，
S_{四邊形POAE}
=S_△OAE+S_△OPE
=S_△OAE+S_△OQE-S_△PQE
=$\frac{1}{2}$•OA•DE+$\frac{1}{2}$QE•OD-$\frac{1}{2}$•QE•P_x•
=$\frac{1}{2}$×10×3+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{4}$p+$\frac{9}{2}$）×6-$\frac{1}{2}$•（$-\frac{3}{4}p+\frac{9}{2}$）•（6-p），
=$-\frac{3}{8}p^2+\frac{9}{4}p+15$
②若點P在CD的右側(cè)，延長AP交CD于Q，如右圖3，
P（p，-$\frac{1}{8}$p²+$\frac{5}{4}$p），A（10，0）
∴設AP所在直線方程為：y=kx+b，把P和A坐標代入得，
$\left\{\begin{array}{l}10k+b=0\\ pk+b=-\frac{1}{8}p^2+\frac{5}{4}p\end{array}$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{8}p\\ b=\frac{5}{4}p\end{array}$．
∴AP所在直線方程為：y=$-\frac{1}{8}p$x+$\frac{5}{4}p$，
∴當x=6時，y=$-\frac{1}{8}p$•6+$\frac{5}{4}p$=$\frac{1}{2}$P，即Q點縱坐標為$\frac{1}{2}$P，
∴QE=$\frac{1}{2}$P-3，
∴S_{四邊形POAE}
=S_△OAE+S_△APE
=S_△OAE+S_△AQE-S_△PQE
=$\frac{1}{2}$•OA•DE+$\frac{1}{2}$•QE•DA-$\frac{1}{2}$•QE•（P_x-6）
=$\frac{1}{2}$×10×3+$\frac{1}{2}$•QE•（DA-P_x+6）
=15+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$p-3）•（10-p）
=$-\frac{1}{4}p^2+4p$
=$-\frac{1}{4}（p-8）^2+16$，
∴當P在CD右側(cè)時，四邊形POAE的面積最大值為16，此時點P的位置就一個，
令$-\frac{3}{8}p^2+\frac{9}{4}p+15$=16，解得，p=3±$\frac{\sqrt{57}}{3}$，
∴當P在CD左側(cè)時，四邊形POAE的面積等于16的對應P的位置有兩個，
綜上所知，以P、O、A、E為頂點的四邊形面積S等于16時，相應的點P有且只有3個．

點評 本題主要考查了圓周角定理及二次函數(shù)的相關(guān)問題，解決這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，然后數(shù)形結(jié)合解決問題．