Question

20．如圖，AB、CD都是⊙O的直徑，弦DE∥AB，
（1）求證：AC=AE；
（2）若$\widehat{AC}$=$\widehat{DE}$，判斷四邊形OAED的形狀是菱形．并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先連接OE，由弦DE∥AB，可得∠AOC=∠D，∠OED=∠AOE，則可證得∠AOE=∠AOC，然后由圓心角與弦的關(guān)系，即可證得AC與AE的大小關(guān)系；
（2）先證兩個正三角形△AOE和△DOE，然后根據(jù)四邊相等得出結(jié)論．

解答 （1）解：如圖，連接OE，
∵DE∥AB，
∴∠AOC=∠D，∠OED=∠AOE，
∵OE=OD，
∴∠D=∠OED，
∴∠AOC=∠AOE，
∴AC=AE；

（2）四邊形OAED的形狀是菱形，
證明：∵$\widehat{AC}$=$\widehat{DE}$，
∴∠AOC=∠DOE，
又∵AC=AE，
∴∠AOC=∠AOE，
∴∠AOC=∠DOE=∠AOE，
又∵CD是直徑，
∴∠AOC=∠DOE=∠AOE=60°，
又∵AO=EO=DO，
∴△AOE和△DOE都是等邊三角形，
∴AE=AO=DO=DE，
∴四邊形OAED的形狀是菱形．

點評 本題主要考查了圓心角與弦的關(guān)系，等邊三角形的判定以及平行線的性質(zhì)．解題時注意：四條邊都相等的四邊形是菱形．