Question

11．已知直線y=kx+b，經(jīng)過點A（0，2），B（-4，0）和拋物線y=x²．
（1）求直線解析式；
（2）將拋物線y=x²沿著x軸向右平移，平移后的拋物線與y軸交于點C，對稱軸右側(cè)部分拋物線與直y=kx+b交于點D，連接CD，當(dāng)CD∥x軸時，求平移后得到的拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）將A（0，2），B（-4，0）代入y=kx+b，運用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)拋物線y=x²沿著x軸向右平移h個單位（h＞0），根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律得到y(tǒng)=（x-h）²，即y=x²-2hx+h²，則點C坐標(biāo)為（0，h²）．由CD∥x軸，得出D點縱坐標(biāo)為h²，將y=h²代入y=$\frac{1}{2}$x+2，求出D（2h²-4，h²）．根據(jù)C、D關(guān)于拋物線y=（x-h）²對稱，列出方程$\frac{0+2{h}^{2}-4}{2}$=h，解方程即可．

解答 解：（1）∵直線y=kx+b經(jīng)過點A（0，2），B（-4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2；

（2）設(shè)拋物線y=x²沿著x軸向右平移h個單位（h＞0），得到y(tǒng)=（x-h）²，即y=x²-2hx+h²，
則點C坐標(biāo)為（0，h²）．
∵CD∥x軸，
∴D點縱坐標(biāo)為h²，
將y=h²代入y=$\frac{1}{2}$x+2，得h²=$\frac{1}{2}$x+2，解得x=2h²-4，即D（2h²-4，h²）．
∵C、D關(guān)于拋物線y=（x-h）²對稱，
∴$\frac{0+2{h}^{2}-4}{2}$=h，
解得h₁=2，h₂=-1（不合題意舍去），
∴平移后得到的拋物線的解析式為y=（x-2）²，即y=x²-4x+4．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，平行于x軸的直線上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，難度適中．求出D點坐標(biāo)是解（2）題的關(guān)鍵．