Question

19．已知：等腰△ABC和等腰△DBA′共頂點B，其中AB=AC=A′B，DB=DA′，N為BC中點，M為A′B中點，將△DBA′繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)AD，點Q為AD中點，連接QM，QN．
（1）如圖1，當(dāng)點D落在BC上，BA與BA′重合時，求證：QM=QN；
（2）如圖2，當(dāng)A′、B、C在一條直線上時，（1）中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由；
（3）△DBA′從圖1位置向圖2位置旋轉(zhuǎn)過程中QM與QN是否始終相等？請結(jié)合圖3說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接BQ，延長BQ到H，使得BQ=QH，連接AH、HC、DH．只要證明四邊形ABDH是平行四邊形，△AHC≌△HAD，推出AH=HC，再利用三角形中位線定理即可解決問題；
（2）（1）中的結(jié)論仍成立．理由梯形的中位線定理即可證明；
（3）結(jié)論：△DBA′從圖1位置向圖2位置旋轉(zhuǎn)過程中QM與QN始終相等．如圖3中，連接BQ，延長BQ到H，使得BQ=QH，連接AH、HC、DH、A′H，延長BD交AC于G，設(shè)A′D交AB于T．只要證明△A′HD≌△HAC，再利用三角形中位線定理即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖1中，連接BQ，延長BQ到H，使得BQ=QH，連接AH、HC、DH．

∵AQ=QD，BQ=QH，
∴四邊形ABDH是平行四邊形，
∴AH=BD，AH∥BC，∠AHD=∠ABD，
∴∠HAC=∠ACB=∠ABC，
∴∠AHD=∠HAC，
∵AC=AB=DH，AH=HA，
∴△AHD≌△HAC，
∴HC=AD=BD=AH，
∵BM=AM，BQ=QH，
∴MQ=$\frac{1}{2}$AH，
∵BN=NC，BQ=QH，
∴QN=$\frac{1}{2}$HC，
∵AH=HC，
∴QM=QN．
（2）解：結(jié)論：（1）中的結(jié)論仍成立．
理由：如圖2中，

∵∠ABC=∠DA′B，∠DBA′=∠C，
∴DA′∥AB，BD∥AC，
∵DQ=QA，A′M=MB，BN=NC，
∴QM=$\frac{1}{2}$（A′D+AB），QN=$\frac{1}{2}$（BD+AC），
∵DA′=DB，AB=AC，
∴QM=QN．

（3）結(jié)論：△DBA′從圖1位置向圖2位置旋轉(zhuǎn)過程中QM與QN始終相等．
理由：如圖3中，連接BQ，延長BQ到H，使得BQ=QH，連接AH、HC、DH、A′H，延長BD交AC于G，設(shè)A′D交AB于T．

∵AQ=QD，BQ=QH，
∴四邊形ABDH是平行四邊形，
∴AH=BD=DA′，AH∥BD，
∴∠HAC=∠AGB=∠GBC+∠GCB，
∴∠A′DH=∠A′TH=∠A′BT+∠BA′D，
∵∠A′BT=∠GBC，∠BA′D=∠GCB，
∴∠A′DH=∠HAC，
∵AC=AB=DH，AH=BD=A′D，
∴△A′HD≌△HAC，
∴HC=A′H，
∵BM=A′M，BQ=QH，
∴MQ=$\frac{1}{2}$A′H，
∵BN=NC，BQ=QH，
∴QN=$\frac{1}{2}$HC，
∵A′H=HC，
∴QM=QN．

點評 本題考查幾何變換綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、梯形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．