Question

8．已知一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$交于A（-1，2），B（2，n），與y軸交于C點．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式；
（2）如圖1，若將y=kx+b向下平移，使平移后的直線與y軸交于F點，與雙曲線交于D、E兩點，若S_△ABD=3，
求D、E的坐標．
（3）如圖2，P為直線y=2上的一個動點，過點P作PQ∥y軸交直線AB于Q，交雙曲線于R，若QR=2QP，求P點坐標．

Answer 1

分析 （1）把A的坐標代入求出m即可；把B的坐標代入求出n，代入求出一次函數(shù)的解析式即可；
（2）先判斷出S_△ABF=S_△ABD=3，再利用三角形的面積計算方法求出點F的坐標，即可得出直線DE的解析式，即可求出交點坐標；
（3）設出點P的坐標，進而得出Q，R的坐標，利用QR=2QP建立方程求解即可．

解答 解：（1）點A（-1，2）在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴m=（-1）×2=-2，
∴反比例函數(shù)的表達式為y=-$\frac{2}{x}$，
∵點B（2，n）也在反比例函數(shù)的y=-$\frac{2}{x}$圖象上，
∴n=-1，
即B（2，-1）
把點A（-1，2），點B（2，-1）代入一次函數(shù)y=kx+b中，得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2}\\{2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=1，
∴一次函數(shù)的表達式為y=-x+1，
答：反比例函數(shù)的表達式是y=-$\frac{2}{x}$，一次函數(shù)的表達式是y=-x+1；

（2）如圖1，
連接AF，BF，
∵DE∥AB，
∴S_△ABF=S_△ABD=3（同底等高的兩三角形面積相等），
∵直線AB的解析式為y=-x+1，
∴C（0，1），
設點F（0，m），
∴AF=1-m，
∴S_△ABF=S_△ACF+S_△BCF=$\frac{1}{2}$CF×|x_A|+$\frac{1}{2}$CF×|x_B|=$\frac{1}{2}$（1-m）×（1+2）=3，
∴m=-1，
∴F（0，-1），
∵直線DE的解析式為y=-x+1，且DE∥AB，
∴直線DE的解析式為y=-x-1①．
∵反比例函數(shù)的表達式為y=-$\frac{2}{x}$②，
聯(lián)立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$
∴D（-2，1），E（1，-2）；

（3）如圖2
由（1）知，直線AB的解析式為y=-x-1，雙曲線的解析式為y=-$\frac{2}{x}$，
設點P（p，2），
∴Q（p，-p-1），R（p，-$\frac{2}{p}$），
PQ=|2+p+1|，QR=|-p-1+$\frac{2}{p}$|，
∵QR=2QP，
∴|-p-1+$\frac{2}{p}$|=2|2+p+1|，
解得，p=$\frac{-5±\sqrt{17}}{2}$或p=$\frac{-7±\sqrt{73}}{6}$，
∴P（$\frac{-5+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{-5-\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{-7+\sqrt{73}}{6}$，2）或（$\frac{-7-\sqrt{73}}{6}$，2）．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形面積的計算方法，平行線的性質，同底等高的兩三角形的面積相等，解方程組，解（1）的關鍵是利用同底等高的兩三角形的面積相等轉化三角形ABD的面積，解（3）的關鍵是用方程的思想解決問題．