Question

3．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB和AD分別在x軸、y軸上，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線y=kx交線段DC于點(diǎn)F，連接EF，若AF平分∠DFE，則k的值為1或3．

Answer 1

分析 分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在DC之間時(shí)，作出輔助線，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可求出k的值；②當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可求出k的值．

解答 解：①如圖，作AG⊥EF交EF于點(diǎn)G，連接AE，

∵AF平分∠DFE，
∴DF=AG=2，
在RT△ADF和RT△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=AG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），
∴DF=FG，
∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，
∴BE=CE=1，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴GE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{G}^{2}}$=1，
∴在RT△FCE中，EF²=FC²+CE²，即（DF+1）²=（2-DF）²+1，解得DF=$\frac{2}{3}$，
∴點(diǎn)F（$\frac{2}{3}$，2），
把點(diǎn)F的坐標(biāo)代入y=kx得：2=$\frac{2}{3}$k，解得k=3；
②當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F（2，2），
把點(diǎn)F的坐標(biāo)代入y=kx得：2=2k，解得k=1．
故答案為：1或3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)綜合題，涉及角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)理，及勾股定解題的關(guān)鍵是分兩種情況求出k．