Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第二象限作正方形ABCD．將過D點的雙曲線y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＜0）沿y軸對折，得到雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0），將正方形ABCD沿x軸正方向向右平移a個單位長度后，點C恰好也落在此雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）上，則a的值是（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 作DE⊥x軸于E，作CF⊥y軸于F，先證明△ADE≌△BAO，得出DE=AO=1，AE=BO=3，同理可證△BCF≌△BAO，得出BF=AO=1，CF=BO=3，求出點D、點C的坐標，再求出雙曲線的解析式，求出M的坐標，根據雙曲線的對稱性得出N的坐標，得出FN=FM，求出CN，即可得出a的值．

解答 解：作DE⊥x軸于E，作CF⊥y軸于F，交雙曲線y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＜0）于M，交雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）于N，如圖所示：
則∠DEA=∠CFB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵直線y=3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，當y=0時，x=-1；
當x=0時，y=3，
∴AO=1，BO=3，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△ADE和△BAO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠AOB=90°}&{\;}\\{∠2=∠3}&{\;}\\{AD=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAO（AAS），
同理：△BCF≌△BAO，
∴DE=AO=1，AE=BO=3，BF=AO=1，CF=BO=3，
∴OE=1+3=4，OF=1+3=4，
∴D的坐標為：（-4，1），C的坐標為：（-3，4），
把D（-4，1）代入y=$\frac{{k}_{1}}{x}$得：k₁=-4，
∴y=-$\frac{4}{x}$，
當y=4時，x=-1，
∴M（-1，4），
∵雙曲線y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＜0）和雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）關于y軸對稱，
∴N和M關于y軸對稱，
∴N（1，4），
∴FN=FM=1，
∴a=CN=3+1=4；
故選：B．

點評 本題是反比例函數綜合題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、反比例函數解析式的求法、對稱的性質等知識；本題難度較大，綜合性強，證明三角形全等和確定反比例函數解析式是解決問題的關鍵．