Question

12．如圖1，Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠EBD=90°，AB=BC，DB=EB．顯然可得結(jié)論AD=EC，AD⊥EC．
（1）閱讀：當(dāng)Rt△DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，連接AD、CE．求證：AD=EC，AD⊥EC．
下面給出了小亮的證明過程，請(qǐng)你把小亮的證明過程填寫完整：
∵∠ABC=∠EBD
∴∠ABC-∠ABE=∠EBD-∠ABE即∠EBC=∠DBA
在△EBC和△DBA中
 $\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠（）=∠（）}\\{BD=BE}\end{array}\right.$∠EBC=∠DBA
∴△EBC≌△DBA∴AD=EC，∠ECB=∠DAB∵∠ECB+∠ACE+∠CAB=90°
∴∠DAB+∠ACE+∠CAB=90°∴∠AKC=90°∴AD⊥EC
（2）類比：當(dāng)Rt△DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖3時(shí)，連接AD、CE．問（1）中線段AD、EC間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）拓展：當(dāng)Rt△DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖4時(shí)，連接AD、CE．請(qǐng)直接寫出線段AD、EC間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)證明過程直接填空即可；
（2）先證△ADB與△CBE全等，得出CE=AD，和∠ECB=∠DAB，延長CE交AD于點(diǎn)F，由于∠DAB與∠ADB互余，從而∠ECB也與∠ADB互余，從而得征；
（3）方法與（2）相同；

解答 解：（1）∵∠ABC=∠EBD
∴∠ABC-∠ABE=∠EBD-∠ABE即∠EBC=∠DBA
在△EBC和△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠（EBC）=∠（DBA）}\\{BD=BE}\end{array}\right.$
∴△EBC≌△DBA，
∴AD=EC，∠ECB=∠DAB，
∵∠ECB+∠ACE+∠CAB=90°
∴∠DAB+∠ACE+∠CAB=90°
∴∠AKC=90°，
∴AD⊥EC．
（2）成立．如圖3，

延長CE交AD于F，
在△EBC和△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠CBE=∠ABD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DBA，
∴AD=EC，∠ECB=∠DAB，
∵∠DAB+∠ADB=90°，
∴∠ECB+∠ADB=90°，
∴AD⊥EC；
（3）如圖4，設(shè)CE、AD交于點(diǎn)F，

∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠CBE=∠ABD，
在△EBC和△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠CBE=∠ABD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$
∴△EBC≌△DBA，
∴AD=EC，∠CEB=∠ADB，
∵∠ADB+∠DFB=90°，
∴∠CEB+∠AFE=90°，
∴AD⊥EC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)，難度不大，是一道基礎(chǔ)題．事實(shí)上，本題得出了一個(gè)結(jié)論，即：兩個(gè)全等的三角形如果有一個(gè)組對(duì)應(yīng)相互垂直，那么另外兩組對(duì)應(yīng)邊也相互垂直，這一結(jié)論在一些大型題目中可直接應(yīng)用，會(huì)起到簡化過程的作用．