Question

12．如圖，已知拋物線y=x²-（m+3）x+9的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，一次函數(shù)y=x+3與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與x、y軸分別交于D、E兩點(diǎn)．
（1）求m的值；
（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAB的面積是△ABC面積的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由頂點(diǎn)在x軸上知它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)一元二次方程中△=0，可得關(guān)于m的方程，求解即可得m；
（2）聯(lián)立拋物線與直線解析式可得方程組，求解即可得A、B坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P（a，b），作PT⊥x軸交BD于點(diǎn)E，AR⊥x軸，BS⊥x軸，分別表示出AR、BS、RC、CS、RS、PT、RT、ST的長(zhǎng)，根據(jù)S_△ABC=S_梯形ARSB-S_△ARC-S_△BCS求出S_△ABC，由S_△PAB=S_梯形PBST-S_梯形ABSR-S_梯形ARTP表示出S_△PAB，根據(jù)△PAB的面積是△ABC面積的2倍可得a、b間關(guān)系，代入拋物線解析式即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，
∴它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴（m+3）²-4×9=0，
解得m=3或m=-9，
又∵拋物線對(duì)稱軸大于0
∴-$\frac{-（m+3）}{2}$＞0，即m＞-3，
∴m=3；

（2）由（1）可得拋物的解析式為y=x²-6x+9，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-6x+9}\\{y=x+3}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，9）； 

（3）存在，
設(shè)點(diǎn)P（a，b），如圖，作PT⊥x軸交BD于點(diǎn)E，AR⊥x軸，BS⊥x軸，

∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b）
∴AR=4，BS=9，RC=3-1=2，CS=6-3=3，RS=6-1=5，PT=b，RT=1-a，ST=6-a，
∴S_△ABC=S_梯形ARSB-S_△ARC-S_△BCS
=$\frac{1}{2}$×（4+9）×5-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×3×9
=15，
S_△PAB=S_梯形PBST-S_梯形ABSR-S_梯形ARTP
=$\frac{1}{2}$×（9+b）（6-a）-$\frac{1}{2}$×（4+9）×5-$\frac{1}{2}$×（b+4）（1-a）
=$\frac{1}{2}$（5b-5a-15），
又∵S_△PAB=2S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$（5b-5a-15）=30，
∴b-a=15，b=15+a，
∵點(diǎn)P在拋物線上
∴b=a²-6a+9，
∴15+a=a²-6a+9，
∴a²-7a-6=0，
解得：a=$\frac{7±\sqrt{73}}{2}$，
∵-3＜a＜1，
∴a=$\frac{7-\sqrt{73}}{2}$，
∴b=15+a=$\frac{37-\sqrt{73}}{2}$，
∴P（$\frac{7-\sqrt{73}}{2}$，$\frac{37-\sqrt{73}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)相交的問題及三角形面積的求解，根據(jù)兩個(gè)三角形面積間關(guān)系得出關(guān)于點(diǎn)P橫縱坐標(biāo)聯(lián)系是解題關(guān)鍵．