Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于B，D兩點(diǎn)，且AC=BC．
（1）寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為：A（-2，0），B（2，2）
（2）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫出當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時對應(yīng)x的取值范圍；
（3）若P是x軸上一點(diǎn)，PM⊥x軸交一次函數(shù)于點(diǎn)M，交反比例函數(shù)于點(diǎn)N，當(dāng)O，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案；
（2）首先求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再利用函數(shù)圖象得出x的取值范圍；
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)，進(jìn)而表示出MN的長，再解方程得出a的值，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)x=0時，y=1；當(dāng)y=0時，x=-2，
故A（-2，0），C（0，1），
∵∵CO⊥x軸于點(diǎn)O，BE⊥x軸于點(diǎn)E，
∴CO∥BE，
∴△AOC∽△AEB，
∵AC=BC，
∴AO=OE=2，
即B點(diǎn)橫坐標(biāo)為：2，
則y=$\frac{1}{2}$×2+1=2，
故B（2，2）；
故答案為：（-2，0），（2，2）；

（2）∵B（2，2），
∴把B點(diǎn)代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0），
解得：xy=4，
即y=$\frac{4}{x}$，
將y=$\frac{1}{2}$x+1與y=$\frac{4}{x}$聯(lián)立可得：
x₁=2，x₂=-4，則y₁=2，y₂=-1，
故D點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4，-1），
如圖1所示：當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時對應(yīng)x的取值范圍為：0＜x＜2或x＜-4；

（3）如圖2，由題意可得：CO∥MN，只有CO=MN時，O，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)或D點(diǎn)右側(cè)時，設(shè)P（a，0），則N（a，$\frac{4}{a}$），M（a，$\frac{1}{2}$a+1），
故MN=$\frac{1}{2}$a+1-$\frac{4}{a}$=CO=1，
解得：a=±2$\sqrt{2}$，
當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)或D點(diǎn)左側(cè)時，設(shè)P（a，0），則N（a，$\frac{4}{a}$），M（a，$\frac{1}{2}$a+1），
故MN=$\frac{4}{a}$-（$\frac{1}{2}$a+1）=CO=1，
解得：a=-2+2$\sqrt{3}$或-2-2$\sqrt{3}$，
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2$\sqrt{2}$，0），（-2$\sqrt{2}$，0），（-2+2$\sqrt{3}$，0），（-2-2$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評 此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及一元二次方程的解法等知識，正確表示MN的長是解題關(guān)鍵．