Question

17．如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CH⊥AB于H，且交BD于點(diǎn)F，DE⊥AB于E，四邊形CDEF是菱形嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 利用“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證明四邊形CDEF是菱形．即先證明CD=DE，再證明四邊形CDEF為平行四邊形．

解答 解：四邊形CDEF是菱形．理由如下：
∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴DC⊥CB，
又∵DE⊥AB于E，且∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，
∴CD=DE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）
在△CBD與△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠BED=90°}\\{∠CBD=∠EBD（角平分線的性質(zhì)）}\\{BD=BD（公共邊相等）}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△EBD
∴∠CDF=∠EDF
又在△CDF與△EDF中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=DE}\\{∠CDF=∠EDF}\\{FD=FD}\end{array}\right.$
∴△CDF≌△EDF
∴∠FCD=∠FED
又CH⊥AB于H，且交BD于點(diǎn)F，DE⊥AB于E，
∴CF∥DE，∠HFE=∠FED，
∴∠HFE=∠FCD
∴EF∥CD
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
又CD=DE
∴四邊形CDEF是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是要掌握菱形的判定方法與角平分線的性質(zhì)等知識(shí)要點(diǎn)的綜合應(yīng)用．