Question

9．如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過C作CD⊥AD于D，交AB的延長線于E．
（1）求證：直線CD為⊙O的切線；
（2）當(dāng)AB=2BE，且CE=$\sqrt{3}$時(shí)，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由AC為角平分線得到一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OC與AD平行，根據(jù)AD與DC垂直，得到OC與CD垂直，即可得證；
（2）由AB=2BE，且AB=2OB，得到OB=BE，進(jìn)而得到OC等于OE的一半，確定出∠E為30度，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長即可．

解答 （1）證明：連接OC，如圖所示，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC為圓O的半徑，
∴CD為圓O的切線；
（2）解：∵AB=2BE，且AB=2OA=2OB，
∴OA=OB=BE=OC，即OC=$\frac{1}{2}$OE，
在Rt△OCE中，CE=$\sqrt{3}$，
∴OC=1，OE=2，即AE=3，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=1.5．

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．