Question

1．某公司準(zhǔn)備銷售甲、乙兩種材料中的一種，設(shè)年銷售量為x（單位：噸）（x≤6），若銷售甲種材料，每噸成本為10萬元，每噸售價y（單位：萬元）與x的函數(shù)關(guān)系是：y=-x+30，設(shè)年利潤為W_甲（單位：萬元）（年利潤=銷售額-成本）；若銷售乙種材料銷售利潤S與x的函數(shù)關(guān)系是：S=-2x²+20x，同時每噸可獲返利a萬元（1≤a≤10），設(shè)年利潤為W_乙（單位：萬元）（年利潤=銷售利潤+返利）．
（1）當(dāng)x=4時，W_甲=64；
（2）當(dāng)x=4，a=3時，W_乙=60；
（3）求W_甲與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x為何值時W_甲最大，最大值是多少？
（4）當(dāng)x=5時，公司想要獲得更多的年利潤，通過計算說明應(yīng)選擇銷售哪種材料？
拓展應(yīng)用：
現(xiàn)公司決定銷售甲種材料，并通過廣告宣傳提高銷售，若一次性投入m（萬元）（m＞0）的廣告費(fèi)，則年銷售量可提高$\frac{1}{4}$m噸（提高后的銷售量可突破6噸），此時的年利潤為R（單位：萬元），當(dāng)m的值分別為4，8，10時，年利潤的最大值分別記為R₄、R₈、R₁₀，直接寫出它們的大小關(guān)系：R₄＜R₈＜R₁₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
（2）代入數(shù)據(jù)計算即可；
（3）由題意得到W_甲=x（-x+30）-10x=-x²+20x；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（4）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）W_甲=（-4+30-10）×4=64；
（2）W_乙=S+4a=-2×4²+20×4+4×3=60；
故答案為：64，60；
（3）由題意得：W_甲=x（-x+30）-10x=-x²+20x；
所以W_甲與x的函數(shù)關(guān)系式為：W_甲=-x²+20x；
∵W_甲=-x²+20x=-（x-10）²+100，
∵W_甲是x的二次函數(shù)，a=-1＜0，
∴當(dāng)x≤6時，W_甲隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=6時，W_甲最大，最大值=-6²+20×6=84；
（4）由題意可得：W_乙=-2x²+20x+ax=-2x²+（20+a）x．
當(dāng)x=5時，W_甲=75，W_乙=50+5a，
當(dāng)75＞50+5a，即a＜5時，W_甲＞W(wǎng)，所以當(dāng)1≤a＜5時，選擇銷售甲種材料；
當(dāng)75=50+5a，即a=5時，W_甲=W_乙，所以當(dāng)a=5時，銷售甲、乙均可；
當(dāng)75＜50+5a，即a＞5時，W_甲=W_乙，所以當(dāng)＜a≤10時，選擇銷售乙種材料；
拓展應(yīng)用：∵R=（-x+30-10）（$\frac{1}{4}$m+x）-m=-x²+（20-$\frac{1}{4}$m）x+4m，
∵m的值分別為4，8，10，
R₄的最大值=$\frac{215}{2}$，R₈的最大值=113，R₁₀=$\frac{1385}{4}$，
∴R₄＜R₈＜R₁₀．
故答案為：R₄＜R₈＜R₁₀．

點(diǎn)評 此題考查的是二次函數(shù)應(yīng)用能力，建立二次函數(shù)的模型，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．