Question

14．已知，拋物線y=$\frac{1}{8}$（x+1）²-2頂點為A，點B在拋物線上，以AB的斜邊作等腰直角三角形，直角頂點C在y軸上，求C點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 由拋物線的頂點式求得A的坐標(biāo)，作BE⊥y軸于E，AF⊥y軸于F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC，∠ACF=∠EBC，然后證得△ACF≌△CBE，得出AF=CE，CF=BE，設(shè)C（0，n），則BE=CF=n+2，AF=CE=1，得出B（-n-2，n+1），代入拋物線的解析式即可求得．

解答 解：∵拋物線y=$\frac{1}{8}$（x+1）²-2頂點為A，
∴A（-1，-2），
作BE⊥y軸于E，AF⊥y軸于F，
∵△ABC是以AB的斜邊等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，
∵∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠ACF=∠EBC，
在△ACF和△CBE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠EBC}\\{∠AFC=∠CEB=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴AF=CE，CF=BE，
設(shè)C（0，n），則BE=CF=n+2，AF=CE=1，
∴B（-n-2，n+1），
∵點B在拋物線上，
∴n+1=$\frac{1}{8}$（-n-2+1）²-2，
解得n=3±4$\sqrt{2}$，
∴C（0，3+4$\sqrt{2}$）或（0，3-4$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．