Question

11．如圖，過(guò)圓心O的直線PC垂直弦AB于點(diǎn)D，并且與⊙O交于C、E兩點(diǎn)．
（1）若sin∠DAO=$\frac{2}{3}$且OE=2PE，求證：AP是⊙O的切線．
（2）若D是OE的中點(diǎn)，AB=4，求CE．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)證得△AOD∽△POA，從而證得∠PAO=∠ADO=90°，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求得半徑，根據(jù)半徑求得直徑即可．

解答 （1）證明：∵sin∠DAO=$\frac{2}{3}$，OD⊥AB，
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∵OE=2PE，
∴$\frac{OE}{OP}$=$\frac{2}{3}$
∵OA=OE，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠AOD=∠POA，
∴△AOD∽△POA，
∴∠PAO=∠ADO=90°，
∴AP是⊙O的切線．
（2）解：設(shè)OA=OE=x，
∵D是OE的中點(diǎn)，
∴OD=$\frac{1}{2}$x，
∵AB=2，OD⊥AB，
∴AD=1，
在RT△AOD中，OA²=OD²+AD²，
即x²=（$\frac{1}{2}$x）²+1²，解得x=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∴CE=2OE=2×$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的判定等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．