Question

10．在正方形ABCD的對角線AC上取AE=AB，過E作AC的垂線交BC于F，求EF：AB的比值．

Answer 1

分析 連接CF，求證△AEF≌△ABF，可以求證EF=BF．進(jìn)一步求證△CEF為等腰直角三角形，得出EF=CE，即可證得CF=$\sqrt{2}$EF，得出AB=BC=（$\sqrt{2}$+1）EF，從而求得EF：AB的比值．

解答 解：連接AF，
在Rt△AEF和Rt△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF，
∴EF=BF；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ACB=45°，
在Rt△CEF中，則∠CFE=45°，
∴∠ECF=∠CFE，
∴CE=EF，
∴CE=EF=BF，
∴CF=$\sqrt{2}$EF，
∴AB=BC=（$\sqrt{2}$+1）EF，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，連接CF，并且求證Rt△CEF≌Rt△CDF是解本題的關(guān)鍵．