Question

18．如圖是某個(gè)園區(qū)部分景點(diǎn)（景點(diǎn)A，B，C，D，E）示意圖，景點(diǎn)A，D之間是一個(gè)荷花池，景點(diǎn)E，D和景點(diǎn)B，D之間正在維修，不能通行．已知AB=400$\sqrt{3}$米，BC=l000米，CE=600米，CD⊥AD，∠BDC=45°，∠ABD=15°．請(qǐng)根據(jù)以上條件求出荷花池AD的寬度和景點(diǎn)E，D之間的距離．

Answer 1

分析 過B作BF⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過B作BG⊥CD于G，則四邊形BFDG為矩形，在Rt△BFA中可求出BF，AF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AD的長(zhǎng)，在Rt△BGC中，利用勾股定理可求出CG=800米，所以CD=CG+GD=1400米，進(jìn)而可求出ED=CD-CE=1400-600=800米．

解答 解：過B作BF⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵CD⊥AD，
∴BF∥DC．
∵∠BDC=45°，
∴∠FBD=45°．
又∵∠ABD=15°，
∴∠FBA=30°．
∴在Rt△BFA中，BF=AB•cos∠FBA=400$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=600米．AF=AB•sin∠FBA=400$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=200$\sqrt{3}$米．
在Rt△BFD中，DF=BF=600米，
∴AD=DF-AF=（600-200$\sqrt{3}$）米．
過B作BG⊥CD于G，則四邊形BFDG為矩形，又BF=DF，
∴四邊形BFDG為正方形，
∴BG=FB=600．在Rt△BGC中，CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=800米，
∴CD=CG+GD=1400米，ED=CD-CE=1400-600=800米．
∴荷花池AD寬（600-200$\sqrt{3}$）米，景點(diǎn)E，D之間的距離為800米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，三角函數(shù)在直角三角形中的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵正確作出高線構(gòu)造直角三角形．