Question

7．如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為矩形的邊CD上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AE的中點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M為邊CD上一點(diǎn)，連接FM，且∠DMF=∠ABF．
（1）若AD=2，DE=1，求AP的長(zhǎng)；
（2）求證：PB=PF+FM；
（3）若矩形ABCD改為?ABCD，如圖2，（2）中的結(jié)論成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；不成立，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)和勾股定理求出AE，即可得出AP的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)BF、CD交于點(diǎn)N，由矩形的性質(zhì)得出CN∥AB，得出∠N=∠PBA，∠NEP=∠BAP，由ASA證明△NEP≌△BAP，得出PB=PN，再證出FN=FM，即可得出結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)BF、CD交于點(diǎn)N，由矩形的性質(zhì)得出CN∥AB，得出∠N=∠PBA，∠NEP=∠BAP，由ASA證明△NEP≌△BAP，得出PB=PN，再證出FN=FM，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ADE=90°，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵點(diǎn)P為線段AE的中點(diǎn)，
∴AP=PE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（2）證明：延長(zhǎng)BF、CD交于點(diǎn)N，如圖1所示：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴CN∥AB，
∴∠N=∠PBA，∠NEP=∠BAP，
在△NEP和△BAP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NEP=∠BAP}&{\;}\\{AP=PE}&{\;}\\{∠EPN=∠APB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△NEP≌△BAP（ASA），
∴PB=PN，
∵∠DMF=∠ABF，
∴∠N=∠DMF，
∴FN=FM，
∴PB=PN=PF+FN=PF+FM；
（3）解：成立；理由如下：
延長(zhǎng)BF、CD交于點(diǎn)N，如圖2所示：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴CN∥AB，
∴∠N=∠PBA，∠NEP=∠BAP，
在△NEP和△BAP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NEP=∠BAP}&{\;}\\{AP=PE}&{\;}\\{∠EPN=∠APB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△NEP≌△BAP（ASA），
∴PB=PN，
∵∠DMF=∠ABF，
∴∠N=∠DMF，
∴FN=FM，
∴PB=PN=PF+FN=PF+FM．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等才能得出結(jié)論．