Question

14．如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=2，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F，G分別在邊AB，AD上，則cos∠EFG的值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 作EH⊥AD于H，連接BE、BD，連接AE交FG于O，如圖，利用菱形的性質(zhì)得△BDC為等邊三角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中計算出BE=$\sqrt{3}$CE=$\sqrt{3}$，接著證明BE⊥AB，設(shè)AF=x，利用折疊的性質(zhì)得到EF=AF，F(xiàn)G垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，所以在Rt△BEF中利用勾股定理得（2-x）²+（$\sqrt{3}$）²=x²，解得x=$\frac{7}{4}$，接下來計算出AE，從而得到OA的長，然后在Rt△AOF中利用勾股定理計算出OF，再利用余弦的定義求解．

解答 解：作EH⊥AD于H，連接BE、BD，連接AE交FG于O，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，
∴△BDC為等邊三角形，∠ADC=120°，
∵E點為CD的中點，
∴CE=DE=1，BE⊥CD，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{3}$CE=$\sqrt{3}$，
∵AB∥CD，
∴BE⊥AB，
設(shè)AF=x，
∵菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F，G分別在邊AB，AD上，
∴EF=AF，F(xiàn)G垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，
在Rt△BEF中，（2-x）²+（$\sqrt{3}$）²=x²，解得x=$\frac{7}{4}$，
在Rt△DEH中，DH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$，HE=$\sqrt{3}$DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△AEH中，AE=$\sqrt{（2+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AO=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
在Rt△AOF中，OF=$\sqrt{（\frac{7}{4}）^{2}-（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{4}$，
∴cos∠AFO=$\frac{\frac{\sqrt{21}}{4}}{\frac{7}{4}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故答案為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了菱形的性質(zhì)．