Question

17．已知：如圖，平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A，C的坐標分別為（4，0），（0，3）．將△OCA沿直線CA翻折，得到△DCA，且DA交CB于點E．
（1）求證：EC=EA；
（2）求點E的坐標；
（3）連接DB，請直接寫出四邊形DCAB的周長和面積．

Answer 1

分析 （1）根據翻折的性質得到∠DAC=∠OAC，由于四邊形OABC是矩形，得到BC∥OA，求得∠BCA=∠OAC證得∠ECA=∠EAC，于是得到結論；
（2）解直角三角形即可得到結果；
（3根據前面的結論推出△ACE∽△BED，得到比例式$\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{AE}$，求得BD=$\frac{7}{5}$，于是得到四邊形DCAB的周長=AC+AB+BD+CD=$\frac{62}{5}$，四邊形DCAB的面積=$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{5}$+5）×$\frac{12}{5}$=$\frac{192}{25}$．

解答 （1）證明：∵將△OCA沿直線CA翻折得到△DCA，
∴∠DAC=∠OAC，
∵四邊形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠BCA=∠OAC
∴∠ECA=∠EAC，
∴EC=EA；

（2）解：∵四邊形OABC是矩形，
∴∠D=∠B=90°，BC=OA，
∵A，C的坐標分別為（4，0），（0，3），
∴OA=4，OC=3，
∵AD=OA，
∴BC=AD，
由（1）知，CE=AE，
∴BE=DE，
在R_t△ABE中，AE²=AB²+BE²，
即（4-BE）²=3²+BE²，
∴BE=$\frac{7}{8}$，
∴CE=4-BE=$\frac{25}{8}$，
∴E（$\frac{25}{8}$，3）；

（3）解：∵∠AEC=∠BED，AE=CE，BE=DE，
∴∠DBE=$\frac{180°-∠BED}{2}$，∠ECA=$\frac{180°-∠AEC}{2}$，
∴∠DBE=∠ECA，
∴△ACE∽△BED，
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{AE}$，
∵AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴$\frac{BD}{5}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{25}{8}}$，
∴BD=$\frac{7}{5}$，
∴四邊形DCAB的周長=AC+AB+BD+CD=$\frac{62}{5}$，
四邊形DCAB的面積=$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{5}$+5）×$\frac{12}{5}$=$\frac{192}{25}$．

點評 本題考查了圖形的變換-翻折，坐標與圖形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，矩形的性質，熟練掌握翻折的性質是解題的關鍵．