Question

2．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交A（-1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，直線l與拋物線交于A，C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若點(diǎn)M是線段AC上的點(diǎn)（不與A，C重合），過M作MF∥y軸交拋物線于F，交x軸于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，連接FA，F(xiàn)C，是否存在m，使△AFC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得b、c的值，可求得拋物線解析式；
（2）由C點(diǎn)橫坐標(biāo)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）用m可出M的坐標(biāo)，則可表示出F的坐標(biāo)，從而可表示出MF的長，表示出△AFC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值時的m．

解答 解：
（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx-c，可得$\left\{\begin{array}{l}{0=1+b-c}\\{0=9+3b-c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）把x=2代入拋物線解析式可得y=2²-2×2-3=-3，
∴C（2，-3），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+s，把A、C坐標(biāo)代入可得，$\left\{\begin{array}{l}{0=k+s}\\{-3=2k+s}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{s=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=-x-1；
（3）存在m，使△AFC的面積最大．
理由如下：
∵點(diǎn)M在直線AC上，
∴M（m，-m-1），
∵點(diǎn)F在拋物線上，
∴F（m，m²-2m-3），
∵點(diǎn)M是線段AC上的點(diǎn)，
∴MF=（-m-1）-（m²-2m-3）=-m²+m+2，
∵A（-1，0），C（2，-3），
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$MF•[2-（-1）]=$\frac{3}{2}$MF=$\frac{3}{2}$（-m²+m+2）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時，△AFC的面積最大，最大為值為$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積及方程思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中求得C點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中用m表示出△ACF的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)相對較少，綜合性較強(qiáng)，難度適中．