Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)P的“變換點(diǎn)”P′的坐標(biāo)．定義如下：當(dāng)a≥b時(shí)，P’點(diǎn)坐標(biāo)為（b，-a）；當(dāng)a＜b時(shí)，P′點(diǎn)坐標(biāo)為（a，-b）．
（1）求A（5，3），B（1，6），C（-2，4）的變換點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如果直線l與x軸交于點(diǎn)D（6，0），與y軸交于點(diǎn)E（0，3）．直線l上所有點(diǎn)的變換點(diǎn)組成一個新的圖形，記作圖形W，請畫出圖形W，并簡要說明畫圖的思路；
（3）若直線y=kx-1（k≠0）與圖形W有兩個交點(diǎn)，請直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間的關(guān)系即可找出與之對應(yīng)的變換點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)D、E坐標(biāo)利用待定系數(shù)法找出直線DE的解析式，找出橫縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)變換點(diǎn)的定義，將直線DE中點(diǎn)（2，2）左側(cè)（不包括該點(diǎn)）的射線作關(guān)于x軸對稱的射線，再將直線DE中點(diǎn)（2，2）右側(cè)（包括該點(diǎn)）的射線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，由此即可得出圖形W；
（3）根據(jù)W的做法找出圖形W中兩段射線的解析式，分別令y=kx-1（k≠0）與這兩段射線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足射線中x的取值范圍，綜合在一起即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵5＞3，1＜6，-2＜4，
∴A′（3，-5），B′（1，-6），C′（-2，-4）．
（2）設(shè)直線DE的解析式為y=ax+b，
將點(diǎn)D（6，0）、E（0，3）代入y=ax+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=6a+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3．
當(dāng)x=y時(shí)，有x=-$\frac{1}{2}$x+3，解得：x=y=2．
畫出圖形W，如圖所示．
畫圖的思路，將直線DE點(diǎn)（2，2）左側(cè)（不包括該點(diǎn)）的射線作關(guān)于x軸對稱的射線，再將直線DE點(diǎn)（2，2）右側(cè)（包括該點(diǎn)）的射線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，由此即可得出圖形W．
（3）當(dāng)x＜2時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x-3；
當(dāng)x≥2時(shí)，旋轉(zhuǎn)后的圖形解析式為-x=-$\frac{1}{2}$y+3，即y=2x-6（x≤2）．
令kx-1=$\frac{1}{2}$x-3，則有x=-$\frac{2}{k-\frac{1}{2}}$＜2（k≠$\frac{1}{2}$），
解得：k＜-$\frac{1}{2}$或k＞$\frac{1}{2}$；
令kx-1=2x-6，則有x=$\frac{-5}{k-2}$≤2（k≠2），
解得：k≤-$\frac{1}{2}$或k＞2．
綜上可知：若直線y=kx-1（k≠0）與圖形W有兩個交點(diǎn)，k的取值范圍為k＜-$\frac{1}{2}$或k＞2．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間的關(guān)系找出其變換點(diǎn)；（2）根據(jù)變換點(diǎn)的定義畫出圖形W；（3）找出圖形W中兩段射線的解析式．本題屬于中檔題，難度不大，解決（3）時(shí)，可以直接作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合法直接得出結(jié)論．