Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC．
（1）作△ABC的角平分線AD；（尺規(guī)作圖，保留痕跡）
（2）在AD的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)E，連接BE、CE．
①求證：△BDE≌△CDE；
②當(dāng)AE=2AD時(shí)，四邊形ABEC是什么圖形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的作法，可得答案；
（2）①根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可得BD=CD、∠BDE=∠CDE=90°，利用“SAS”即可判定△BDE≌△CDE；②根據(jù)菱形的判定：對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，可得答案．

解答 解：（1）如圖，線段AD即為所求；


（2）①∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，AD⊥BC．
∴∠BDE=∠CDE=90°．
在△BDE和△CDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△CDE（SAS）．
②∵AE=2AD，
∴AE=DE．
∵BD=CD，
∴四邊形ABEC是平行四邊形．
∵AD⊥BC，
∴平行四邊形ABEC是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定，熟練掌握等腰三角形的“三線合一”及全等三角形和菱形的判定是解題的關(guān)鍵．