Question

5．釣魚(yú)島自古以來(lái)就是中國(guó)的領(lǐng)土，中國(guó)有關(guān)部門(mén)已對(duì)釣魚(yú)島及其附屬島嶼開(kāi)展常態(tài)化監(jiān)視檢測(cè)．如圖，E、F為釣魚(yú)島東西兩端．某日，中國(guó)一艘海監(jiān)船從A點(diǎn)向正北方向巡航，其航線距離釣魚(yú)島最近距離CF=20$\sqrt{3}$海里，在A點(diǎn)測(cè)得釣魚(yú)島最西端F在點(diǎn)A的北偏東30°方向，航線20海里后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得最東端E點(diǎn)在B的東北方向（C、F、E在同一直線上）．（$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{7}$≈2.65，結(jié)果精確到0.1）
（1）求釣魚(yú)島東西兩端的距離．
（2）若監(jiān)測(cè)船在B點(diǎn)突然檢測(cè)到F點(diǎn)處有輪艘船出了故障，1.5小時(shí)內(nèi)必須進(jìn)行搶修．監(jiān)測(cè)船以每小時(shí)25海里的速度趕往F點(diǎn)，能否趕到？

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)方向角定義結(jié)合已知條件，得出∠CAF=30°，F(xiàn)C=20$\sqrt{3}$海里，AB=20海里，∠CBE=45°，然后根據(jù)正切函數(shù)定義得出AC，再求出EC，進(jìn)而得出EF長(zhǎng)度即可；
（2）連結(jié)BF．在Rt△BCF中利用勾股定理得出BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=20$\sqrt{7}$，根據(jù)時(shí)間=路程÷速度全程監(jiān)測(cè)船所用時(shí)間，與1.5小時(shí)比較即可．

解答 解：（1）由題意可得出：
∵∠CAF=30°，CF=20$\sqrt{3}$海里，AB=20海里，∠CBE=45°，
∴AC=$\frac{CF}{tan∠CAF}$=$\frac{20\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=60（海里），
∴EC=BC=AC-AB=60-20=40（海里），
∴EF=EC-CF=40-20$\sqrt{3}$≈5.4（海里）．
答：釣魚(yú)島東西兩端的距離約為5.4海里．

（2）如圖，連結(jié)BF．
在Rt△BCF中，∵∠BCF=90°，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{4{0}^{2}+（20\sqrt{3}）^{2}}$=20$\sqrt{7}$，
∵監(jiān)測(cè)船以每小時(shí)25海里的速度趕往F點(diǎn)，
∴監(jiān)測(cè)船所用時(shí)間為：$\frac{20\sqrt{7}}{25}$≈2.12＞1.5，
∴監(jiān)測(cè)船以每小時(shí)25海里的速度趕往F點(diǎn)，不能趕到．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出EC=BC是解（1）題的關(guān)鍵，求出BF的長(zhǎng)是解（2）題的關(guān)鍵．