Question

14．服裝廠生產(chǎn)某品牌的T恤衫單價(jià)是每件2.5元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，以單價(jià)13.5元批發(fā)給經(jīng)銷商，經(jīng)銷商愿意經(jīng)銷500件，并且表示每件降價(jià)1元，愿意多經(jīng)銷200件．
（1）請(qǐng)你幫助分析，廠家批發(fā)單價(jià)是多少時(shí)可以獲利最多？
（2）如果每天盈利y元，設(shè)每件降價(jià)x元，試建立y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）試探索每件降價(jià)多少元時(shí)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析 商品的利潤(rùn)和售價(jià)、銷售量有關(guān)系，它們之間呈現(xiàn)如下關(guān)系式：總利潤(rùn)=單個(gè)商品的利潤(rùn)×銷售量．要想獲得最大利潤(rùn)，并不是單獨(dú)提高單個(gè)商品的利潤(rùn)或僅大幅提高銷售量就可以的，這兩個(gè)量之間應(yīng)達(dá)到某種平衡，才能保證利潤(rùn)最大．因?yàn)橐阎�中給出了商品降價(jià)與商品銷售量之間的關(guān)系，所以，我們完全可以找出總利潤(rùn)與商品的價(jià)格之間的關(guān)系，利用這個(gè)等式尋找出所求的問題，這里我們不妨設(shè)每件商品降價(jià)x元，商品的售價(jià)就是（13.5-x）元了．單個(gè)的商品的利潤(rùn)是（13.5-x-2.5），這時(shí)商品的銷售量是（500+200x），總利潤(rùn)可設(shè)為y元．利用上面的等量關(guān)式，可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式了，若是二次函數(shù)，即可利用二次函數(shù)的知識(shí)，找到最大利潤(rùn)．

解答 解：設(shè)每件商品降價(jià)x元，
商品的售價(jià)就是（13.5-x）元，單個(gè)的商品的利潤(rùn)是（13.5-x-2.5）元，
這時(shí)商品的銷售量是（500+200x）件．
設(shè)總利潤(rùn)為y元，
則y=（13.5-x-2.5）（500+200x）=-200x²+1700x+5500，
∵-200＜0，
∴y有最大值；
∴當(dāng)x=-$\frac{1700}{2×（-200）}$=4.25時(shí)，
y_最大值=$\frac{4×（-200）×5500-170{0}^{2}}{4×（-200）}$=9112.5，
即：（1）廠家批發(fā)單價(jià)是13.5-4.25=9.25時(shí)可以獲利最多；
（2）y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-200x²+1700x+5500；
（3）每件降價(jià)4.25元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是9112.5元．

點(diǎn)評(píng) 此題考查二次函數(shù)的運(yùn)用，運(yùn)用了數(shù)學(xué)建模思想把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求最值常用公式法或配方法．