Question

16．在△ABC中，已知AB=1，AC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∠ABC=45°，求△ACB的面積．

Answer 1

分析 過(guò)A作AD⊥BC，交BC（或BC延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D，利用勾股定理和三角形的面積公式分別求出S_△ABD和S_△ACD，再分∠C為銳角和鈍角兩種情況求出S_△ACB即可．

解答 解：過(guò)A作AD⊥BC，交BC（或BC延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D，如圖所示．
在Rt△ABD中，AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△ACD中，AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{4}$，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$．
∴當(dāng)∠C為銳角時(shí)，S_△ACB=S_△ABD+S_△ACD=$\frac{2+\sqrt{2}}{8}$；當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，S_△ACB=S_△ABD-S_△ACD=$\frac{{2-\sqrt{2}}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理以及三角形的面積，分∠C為銳角和鈍角兩種情況找出△ACB的面積是解題的關(guān)鍵．