Question

12．如圖，矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F，連結(jié)BF交AC于點(diǎn)M，連結(jié)DE、BO．若∠COB=60°，F(xiàn)O=FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S_△AOE：S_△BCM=2：3．其中一定成立的結(jié)論有①③④（將正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線(xiàn)上）

Answer 1

分析 ①正確．只要證明BO=BC，OF=FO即可解決問(wèn)題；
②錯(cuò)誤．可以證明△EOB≌△FCB，由此即可判斷；
③正確．只要證明△DEF是等邊三角形即可．
④正確．只要證明S_△BCM=$\frac{1}{4}$S_△ACB，S_△AOE=$\frac{1}{3}$S_△AOB=$\frac{1}{6}$S_△ABC即可；

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，OA=OC，
∴OB=OA=OB，
∵∠COB=60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠DCA=30°，
∵FO=FC，BO=BC，
∴BF垂直平分OC，故①正確，
∴∠FBC=∠OBE=30°，
∴∠FOC=∠FCO=30°，
∴∠FOB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠FCO=∠EAO，
∵∠FOC=∠AOE，OA=OC，
∴△FOC≌△EOA，
∴OE=OF，
∴BF=BE，∵∠BOE=∠BCF=90°，∠EBO=∠CBF，
∴△EBO≌△FBC，故②錯(cuò)誤，
∵DF∥EB，DF=BE，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴∠EDF=∠FBE=60°，∵∠DFE=180°-∠CFO=60°，
∴△EDF是等邊三角形，
∴DE=EF，故③正確，
易知CM=$\frac{1}{4}$AC，AE=CF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$BE，
∴S_△BCM=$\frac{1}{4}$S_△ACB，S_△AOE=$\frac{1}{3}$S_△AOB=$\frac{1}{6}$S_△ABC，
∴S_△AOE：S_△BCM=2：3．故④正確，
故答案為①③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．