Question

1．已知：關(guān)于x的函數(shù)y=kx²+k²x-2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，
（1）當(dāng)k=-2時(shí)，求圖象與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若x≥1時(shí)函數(shù)y隨著x的增大而減小，求k的取值范圍；
（3）若圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)為A，當(dāng)△AOC是等腰三角形時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=-2時(shí)，函數(shù)為y=-2x²+4x-2，令y=0，求出x的值即可；
（2）首先判斷出拋物線開口向下，對稱軸在直線x=1的左側(cè)，列出k的不等式，求出k的取值范圍；
（3）先求出OC的長，進(jìn)而求出點(diǎn)A坐標(biāo)，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入函數(shù)y=kx²+k²x-2，即可求出k的值．

解答 解 （1）當(dāng)k=-2時(shí)，函數(shù)為y=-2x²+4x-2，
令y=0，則-2x²+4x-2=0，
解得：x₁=x₂=1，
∴圖象與x軸公共點(diǎn)為（1，0）．

（2）由“x≥1時(shí)函數(shù)y隨著x的增大而減小”可知，拋物線開口向下，
∴k＜0，且對稱軸在直線x=1的左側(cè)，
∴-$\frac{{k}^{2}}{2k}$≤1，即$-\frac{k}{2}$≤1，
解不等式組$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{-\frac{k}{2}≤1}\end{array}\right.$，得-2≤k＜0，

（3）當(dāng)△AOC是等腰三角形時(shí)，
∵∠AOC=90°，OC=2，
∴可得OA=OC=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）或（-2，0），
把x=2，y=0代入解析式得2k²+4k-2=0，解得k₁=-1+$\sqrt{2}$，k₁=-1-$\sqrt{2}$，
把x=-2，y=0代入解析式得-2k²+4k-2=0，解得k₁=k₁=1，
∴k的值為-1+$\sqrt{2}$或-1-$\sqrt{2}$或1．

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，解答（2）問時(shí)確定對稱軸在直線x=1的左側(cè)是關(guān)鍵，此題難度不大．