Question

4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD．
（1）如圖1所示，AC=BC，求證：AB=2CD；
（2）若AC≠BC（如圖2所示）．（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立．請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CD⊥AB，于是得到∠DCB=45°，求得CD=BD，于是得到結(jié)論；
（2）如圖1，取AC中點(diǎn)E，連接DE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∴∠DCB=45°，
∴∠B=∠DCB，
∴CD=BD，
∵AB=2BD，
∴AB=2CD；


（2）如圖1，取AC中點(diǎn)E，連接DE，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴DE∥BC，
∵∠ACB=90°，
∠AED=∠ACB=90°，
DE是AC的垂直平分線，
∴AD=CD，
∴AB=AD+BD=2AD=2CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，熟練三角形的中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．