Question

11．如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點．
（1）求證：PM=PN；
（2）四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接MN，證明四邊形AMNB是矩形，得出∠MNB=90°，根據直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結論；
（2）先證明四邊形MPNQ是平行四邊形，再由（1）即可得出結論．

解答 （1）證明：連接MN，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD∥BC，AD=BC，
∵M、N分別是AD、BC的中點，
∴AM=DM=$\frac{1}{2}$AD，BN=CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴AM=BN，
∴四邊形AMNB是平行四邊形，
∴平行四邊形AMNB是矩形，
∴∠MNB=90°，
∵P是BM的中點，
∴PN=$\frac{1}{2}$BM=PM；
（2）四邊形MPNQ是菱形；理由如下：
解：∵DM∥BN，DM=BN，
∴四邊形BMDN是平行四邊形，
∴BM∥ND，BM=ND，
又∵P、Q分別是BM、DN的中點，
∴PM=NQ，
∴四邊形MPNQ是平行四邊形，
由（1）得PM=PN，
∴四邊形MPNQ時菱形．

點評 本題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定以及直角三角形斜邊上的中線性質；證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關鍵．