Question

13．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+1（a≠0）過點A（-1，0），B（1，1），與y軸交于點C．
（1）求拋物線y=ax²+bx+1（a≠0）的函數(shù)表達式；
（2）若點D在拋物線y=ax²+bx+1（a≠0）的對稱軸上，當△ACD的周長最小時，求點D的坐標；
（3）在拋物線y=ax²+bx+1（a≠0）的對稱軸上是否存在點P，使△ACP成為以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點A（-1，0），B（1，1）代入y=ax²+bx+1，得到方程組，求出a，b，即可解答；
（2）拋物線$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x+1$的對稱軸為直線$x=\frac{1}{2}$．設點E為點A關于直線$x=\frac{1}{2}$的對稱點，則點E的坐標為（2，0）．連接EC交直線$x=\frac{1}{2}$于點D，此時△ACD的周長最�。�設直線EC的函數(shù)表達式為y=kx+m，代入E，C的坐標，求出解析式，當$x=\frac{1}{2}$時，$y=\frac{3}{4}$．所以點D的坐標為$（{\frac{1}{2}，\frac{3}{4}}）$．
（3）存在，分兩種情況進行討論：①當點A為直角頂點時，過點A作AC的垂線交y軸于點M，交對稱軸于點P₁，得到點M的坐標為（0，-1），從而求出直線AM的函數(shù)表達式為y=-x-1．令$x=\frac{1}{2}$，則$y=-\frac{3}{2}$．所以點P₁的坐標為$（{\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}}）$．；②當點C為直角頂點時，過點C作AC的垂線交對稱軸于點P₂，交x軸于點N，與①同理可得Rt△CON是等腰直角三角形，得到點N的坐標為（1，0），根據CP₂∥AP₁，從而求出直線CP₂的函數(shù)表達式為y=-x+1，令$x=\frac{1}{2}$，則$y=\frac{1}{2}$，所以點P₂的坐標為$（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+1（a≠0）過點A（-1，0），B（1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{a+b+1=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數(shù)關系式為$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x+1$．
（2）∵$x=-\frac{2a}=\frac{1}{2}$，C（0，1），
∴拋物線$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x+1$的對稱軸為直線$x=\frac{1}{2}$，
設點E為點A關于直線$x=\frac{1}{2}$的對稱點，則點E的坐標為（2，0），
連接EC交直線$x=\frac{1}{2}$于點D，此時△ACD的周長最小，
設直線EC的函數(shù)表達式為y=kx+m，代入E，C的坐標，
則$\left\{\begin{array}{l}{2k+m=0}\\{m=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{m=1}\end{array}\right.$，
所以，直線EC的函數(shù)表達式為$y=-\frac{1}{2}x+1$，
當$x=\frac{1}{2}$時，$y=\frac{3}{4}$，
∴點D的坐標為$（{\frac{1}{2}，\frac{3}{4}}）$．
（3）存在；
①如圖1，當點A為直角頂點時，過點A作AC的垂線交y軸于點M，交對稱軸于點P₁，

∵AO⊥OC，AC⊥AP₁，
∴∠AOM=∠CAM=90°，
∵C（0，1），A（-1，0），
∴OA=OC=1，
∴∠CAO=45°，
∴∠OAM=∠OMA=45°，
∴OA=OM=1，
∴點M的坐標為（0，-1），
設直線AM對應的一次函數(shù)的表達式為y=k₁x+b₁，代入A，M的坐標，
則：$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{1}+_{1}=0}\\{_{1}=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{_{1}=-1}\end{array}\right.$，
所以，直線AM的函數(shù)表達式為y=-x-1，
令$x=\frac{1}{2}$，則$y=-\frac{3}{2}$，
∴點P₁的坐標為$（{\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}}）$；
②如圖2，當點C為直角頂點時，過點C作AC的垂線交對稱軸于點P₂，交x軸于點N，

與①同理可得Rt△CON是等腰直角三角形，
∴OC=ON=1，
∴點N的坐標為（1，0），
∵CP₂⊥AC，AP₁⊥AC，
∴CP₂∥AP₁，
∴直線CP₂的函數(shù)表達式為y=-x+1，
令$x=\frac{1}{2}$，則$y=\frac{1}{2}$，
∴點P₂的坐標為$（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$；
綜上，在對稱軸上存在點P₁$（{\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}}）$，P₂$（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，使△ACP成為以AC為直角邊的直角三角形．

點評 本題考查了二次函數(shù)，解決本題（2）時，找到點A關于直線$x=\frac{1}{2}$的對稱點是關鍵，在（3）中分類討論思想和數(shù)形結合是解題的關鍵．