Question

11．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；
（2）連接BC，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)；
②當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？
③設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，S是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）已知了拋物線的解析式，當(dāng)y=0時(shí)可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸x=-$\frac{2a}$可得出對(duì)稱(chēng)軸的解析式．
（2）①PF的長(zhǎng)就是當(dāng)x=m時(shí)，拋物線的值與直線BC所在一次函數(shù)的值的差．可先根據(jù)B，C的坐標(biāo)求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長(zhǎng)；
②根據(jù)直線BC的解析式，可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式，可求出DE的長(zhǎng)，然后讓PF=DE，即可求出此時(shí)m的值；
③利用S=S_△BPF+S_△CPF，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)最值求法得出答案．

解答 解：（1）令y=0，則-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）=0，
解得x=-1或x=3，則A（-1，0），B（3，0）．
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是：直線x=1．
令x=0，則y=0，則C（0，3）．
綜上所述，A（-1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x=1；

（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
所以直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+3．
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，當(dāng)x=1時(shí)，y=4．
∴D（1，4）
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）
∴線段DE=4-2=2，
線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m；

②∵PF∥DE，
∴當(dāng)PF=ED時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形，
由-m²+3m=2，
解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去），
因此，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形；
③設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，由B（3，0），O（0，0），
可得：OB=OM+MB=3，
∵S=S_△BPF+S_△CPF
即S=$\frac{1}{2}$PF•BM+$\frac{1}{2}$PF•OM=$\frac{1}{2}$PF•（BM+OM）=$\frac{1}{2}$PF•OB，
∴S=$\frac{1}{2}$×3（-m²+3m）=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{3}{2}$（m²-3m）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$（0≤m≤3），
故m=$\frac{3}{2}$時(shí)，S有最大值為：$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，根據(jù)二次函數(shù)解析式得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的解析式是解題的基礎(chǔ)．