Question

7．如圖，△ABC 中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：DF⊥AC；
（2）如果sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，AE的長(zhǎng)為2．求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD．由切線的性質(zhì)可知OD⊥DF．接下來(lái)由AC=AB，OB=OD可證明∠∠ODB=∠C，從而可證明OD∥AC，由平行線的性質(zhì)可證明DF⊥AC；
（2）連結(jié)BE，AD．先證明FD∥BE，由平行線分線段成比例定理可知：F是CE的中點(diǎn)．設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=AC=2r．則CE=2r+2，AF=r-1，在△ABD中由銳角三角函數(shù)的定義可知AD=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}r$．最后依據(jù)sin∠ADF=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$列出關(guān)于r的方程求解即可．

解答 （1）證明：如圖1所示：連接OD．

∵DF是⊙O的切線，
∴OD⊥DF．
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB．
∵AB=AC．
∴∠B=∠C．
∴∠ODB=∠C．
∴OD∥AC．
∴DF⊥AC．
（2）解：連結(jié)BE，AD．

∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠AEB=90°
∵AB=AC，
∴BD=CD．
∵DF⊥AC，
∴FD∥BE．
∴可得點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)．
設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=AC=2r．則CE=2r+2，
∴FC=r+1．
∴AF=r-1．
∵∠ABD=∠C=∠ADF，
∴sin∠ABD=sin∠ACB=sin∠ADF=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴AD=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}r$．
∵sin∠ADF=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{r-1}{{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}r}}$
∴r=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、銳角三角函數(shù)的定義，用含r的式子表示出AF、AD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．