Question

3．如圖，拋物線y=ax²+bx與x軸相交于點(diǎn)A（8，0），且經(jīng)過原點(diǎn)．頂點(diǎn)M在第四象限，過點(diǎn)M作MB⊥x軸，且BM=4，點(diǎn)P（a，0）是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PM，將線段PM繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，過點(diǎn)C作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)D，連結(jié)BC和MD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)以點(diǎn)M、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意先求得M的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）通過三角形全等求得PB=CN，BM=PN，分類討論P(yáng)在B點(diǎn)的左邊與右邊，從而求得C的坐標(biāo)；
（3）分類討論點(diǎn)P在OB上時(shí)、OE上時(shí)，把C的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得D的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出等式，解這個(gè)方程即可求得a的值，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A與點(diǎn)O關(guān)于MB對稱，
∴拋物線的對稱軸為x=4．
又∵M(jìn)B=4，
∴M（4，-4）．
將點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{64a+8b=0}\\{16a+4b=-4}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{4}$，b=-2．
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²-2x．

（2）∵∠MPB+∠BPC=90°，∠MPB+∠PMB=90°，
∴∠CPB=∠PMB．
在△MPB和△PCN中$\left\{\begin{array}{l}{∠CPB=∠PMB}\\{∠MBP=∠CNP}\\{PC=CM}\end{array}\right.$
∴△MPB≌△PCN．
∴PB=CN，PN=BM=4                                          
∵P（a，0），OP=a，且點(diǎn)P是線段OE上的動(dòng)點(diǎn)
∴PB=CN=|4-a|，ON=|a+4|
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，點(diǎn)C在x軸上方，

a＜4，4-a＞0，PB=CN=4-a，
∴C（a+4，4-a）  
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，點(diǎn)C在x軸下方，

a＞4，4-a＜0，
∴PB=|4-a|=-（4-a）=a-4
∴CN=a-4                                                 
∴C（a+4，4-a）  
綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)是C（a+4，4-a）

（3）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，
由（2）可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a+4，4-a）．
∵四邊形BMDC為平行四邊形，
∴CD=BM=4．
將x=a+4代入拋物線的解析式得：y=$\frac{1}{4}$（a+4）²-2（a+4）=$\frac{1}{4}$a²-4．
∴CD=4-a-（$\frac{1}{4}$a²-4）=4，解得：a=-2+2$\sqrt{5}$或a=-2-2$\sqrt{5}$（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2+2$\sqrt{5}$，0）．
如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)．點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a+4，4-a），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a+4，$\frac{1}{4}$a²-4）
∴CD=$\frac{1}{4}$a²-4-（4-a）=4．
解得：a=-2+2$\sqrt{13}$或a=-2-2$\sqrt{13}$（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2+2$\sqrt{13}$，0）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2+2$\sqrt{13}$，0）或（-2+2$\sqrt{5}$，0）．

點(diǎn)評 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)的求法，找出圖形中的全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)得到相關(guān)線段的長度是解答問題（2）的關(guān)鍵，依據(jù)平行四邊形的對邊相等列出關(guān)于a的方程是解題的關(guān)鍵．