Question

19．如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx-2的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E．
（1）求拋物線(xiàn)解析式；
（2）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，當(dāng)OD=4PE時(shí)，求四邊形POBE的面積；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M為直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便探究】

Answer 1

分析 （1）由拋物線(xiàn)y=ax²+bx-2的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，A（-2，0）在拋物線(xiàn)上，于是列方程即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式得到B（4，0），C（0，-2），求得BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，設(shè)D（m，0），得到E（m，$\frac{1}{2}$m-2），P（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m-2），根據(jù)已知條件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，$\frac{7}{4}$），E（5，$\frac{1}{2}$），根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)M（n，$\frac{1}{2}$n-2），①以BD為對(duì)角線(xiàn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN垂直平分BD，求得n=4+$\frac{1}{2}$，于是得到N（$\frac{9}{2}$，-$\frac{1}{4}$）；②以BD為邊，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，過(guò)M作MH⊥x軸于H，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx-2的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，A（-2，0）在拋物線(xiàn)上，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=1}\\{（-2）^{2}a-2b-2=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，拋物線(xiàn)解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2；
（2）令y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2=0，解得：x₁=-2，x₂=4，當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，∴B（4，0），C（0，-2），設(shè)BC的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，∴y=$\frac{1}{2}$x-2，
設(shè)D（m，0），
∵DP∥y軸，
∴E（m，$\frac{1}{2}$m-2），P（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m-2），
∵OD=4PE，
∴m=4（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m-2-$\frac{1}{2}$m+2），
∴m=5，m=0（舍去），
∴D（5，0），P（5，$\frac{7}{4}$），E（5，$\frac{1}{2}$），
∴四邊形POBE的面積=S_△OPD-S_△EBD=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{2}×$1×$\frac{1}{2}$=$\frac{33}{8}$；
（3）存在，設(shè)M（n，$\frac{1}{2}$n-2），
①以BD為對(duì)角線(xiàn)，如圖1，
∵四邊形BNDM是菱形，
∴MN垂直平分BD，
∴n=4+$\frac{1}{2}$，
∴M（$\frac{9}{2}$，$\frac{1}{4}$），
∵M(jìn)，N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴N（$\frac{9}{2}$，-$\frac{1}{4}$）；
②以BD為邊，如圖2，
∵四邊形BNDM是菱形，
∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，
過(guò)M作MH⊥x軸于H，
∴MH²+DH²=DM²，
即（$\frac{1}{2}$n-2）²+（n-5）²=1²，
∴n₁=4（不合題意），n₂=5.6，
∴N（4.6，$\frac{4}{5}$），
同理（$\frac{1}{2}$n-2）²+（4-n）²=1，
∴n₁=4+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（不合題意，舍去），n₂=4-$\frac{2\sqrt{5}}{4}$，
∴N（5-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
③以BD為邊，如圖3，
過(guò)M作MH⊥x軸于H，
∴MH²+BH²=BM²，
即（$\frac{1}{2}$n-2）²+（n-4）²=1²，
∴n₁=4+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，n₂=4-$\frac{2\sqrt{5}}{4}$（不合題意，舍去），
∴N（5+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
綜上所述，當(dāng)N（$\frac{9}{2}$，-$\frac{1}{4}$）或（4.6，$\frac{4}{5}$）或（5-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）或（5+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$），以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題主要涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、勾股定理，三角形的面積公式、菱形的性質(zhì)、根據(jù)題意畫(huà)出符合條件的圖形是解題的關(guān)鍵．