Question

11．如圖，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC邊上的中線AD=12．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形中線的定義得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5，然后在△ABD中，根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明AD⊥BC；
（2）由（1）可得∠ADC=90°，再根據(jù)勾股定理即可求出AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=13．

解答 （1）證明：∵AD是BC邊上的中線，BC=10，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5．
∵BD²+AD²=5²+12²=169，
AB²=13²=169，
∴BD²+AD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴AD⊥BC；

（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AD=12，DC=5，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理及其逆定理，關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理證得AD⊥BC．其中第（2）問(wèn)也可以利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AC=AB=13．