Question

11．如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）當(dāng)DE=1，∠C=30°時(shí)，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，利用平行線的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，從而判斷DE是圓的切線；
（2）由∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，求得DC=2，由于OD∥BC，于是得到∠ODA=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AOD=120°，于是得到OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，陰影部分面積即可求得．

解答 解：（1）連接OD，
∵AB是⊙O的直徑，D是AC的中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵點(diǎn)D在圓上，
∴DE為⊙O的切線；    

（2）∵∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，
∴DC=2，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=30°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，
∴OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴陰影部分面積S=$\frac{120•π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4π}{9}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題目考查了切線的判定，等腰三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理及切線的性質(zhì)，涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多且碎，解題時(shí)候應(yīng)該注意．