Question

1．如圖，△OAB是等要直角三角形，∠B=90°，BO=BA，OA=4，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，雙曲線y=$\frac{k}{x}$過OB的中點(diǎn)C且與AB交于點(diǎn)D，連接CD，則∠BDC=30°．

Answer 1

分析 作BE⊥OA于E，DF⊥OA于F，CG⊥OA于G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)OE=AE=BE=2，進(jìn)而求得BC=OC=$\sqrt{2}$，從而求得OG=CG=1，得出C（1，1），利用待定系數(shù)法求得雙曲線的解析式為y=$\frac{1}{x}$，設(shè)D（a，$\frac{1}{a}$），則AF=4-a，DF=$\frac{1}{a}$，根據(jù)△ADF∽△ABE，對(duì)應(yīng)邊成比例求得AD=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，從而求得BD=$\sqrt{6}$，然后根據(jù)正切函數(shù)即可求得∠BDC的度數(shù)．

解答 解：作BE⊥OA于E，DF⊥OA于F，CG⊥OA于G，
∵△OAB是等腰直角三角形，∠B=90°，BO=BA，OA=4，
∴OE=AE=2，BE=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴OB=AB=2$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，
∴BC=OC=$\sqrt{2}$，
∵CG⊥OA，
∴OG=CG=1，
∴C（1，1），
∵C是雙曲線y=$\frac{k}{x}$的點(diǎn)，
∴k=1×1=1，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{1}{x}$，
∵BE⊥OA，DF⊥OA，
∴DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AF}{BE}$，
∵D是雙曲線y=$\frac{k}{x}$的點(diǎn)，
∴設(shè)D（a，$\frac{1}{a}$），
∵OA=4，
∴AF=4-a，DF=$\frac{1}{a}$，
∴4-a=$\frac{1}{a}$，
∴a=2+$\sqrt{3}$，
∴AF=2-$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AD}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
∴AD=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
∴BD=AB-AD=2$\sqrt{2}$-（2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$）=$\sqrt{6}$，
∴tan∠BDC=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BDC=30°．
故答案為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，直角三角函數(shù)等，求得反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．