Question

11．如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥CD，∠DAE=30°，∠DBC=45°，AB=2，求CD．

Answer 1

分析 證明四邊形ABCE是矩形，得出CE=AB=2，AE=BC，設(shè)DE=x，則CD=x+2，由勾股定理得出AE=$\sqrt{3}$DE=$\sqrt{3}$x，BC=$\sqrt{3}$x，證出△BCD是等腰直角三角形，得出BC=CD，得出方程，解方程求出DE，即可得出CD．

解答 解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥CD，∠ABC=∠BCE=∠AEC=∠AED=90°，
∴四邊形ABCE是矩形，
∴CE=AB=2，AE=BC，
設(shè)DE=x，則CD=x+2，
∵∠DAE=30°，
∴AE=$\sqrt{3}$DE=$\sqrt{3}$x，
∴BC=$\sqrt{3}$x，
∵∠DBC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=CD，
即$\sqrt{3}$x=x+2，
解得：x=$\sqrt{3}$+1，
∴CD=$\sqrt{3}$+1+2=$\sqrt{3}$+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，由題意得出方程是解決問題的關(guān)鍵．