Question

19．已知正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（10，10），點(diǎn)P從O出發(fā)沿O→C→B運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位每秒，連接AP．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）若拋物線y=-（x-h）²+k經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，求拋物線函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)0≤t≤10時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AP于點(diǎn)H，直線OH交邊BC于點(diǎn)D，連接AD，PD，設(shè)△APD的面積為S，求S的最小值；
（3）在圖2中以A為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作⊙A，當(dāng)0≤t≤20時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸（Q在P的上方），且線段PQ=t+12：
①當(dāng)t在什么范圍內(nèi)，線段PQ與⊙A只有一個(gè)公共點(diǎn)？當(dāng)t在什么范圍內(nèi)，線段PQ與⊙A有兩個(gè)公共點(diǎn)？
②請(qǐng)將①中求得的t的范圍作為條件，證明：當(dāng)t取該范圍內(nèi)任何值時(shí)，線段PQ與⊙A總有兩個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=-（x-h）²+k經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，即可得到拋物線的對(duì)稱軸，把點(diǎn)B坐標(biāo)（10，10）代入，即可得到拋物線函數(shù)關(guān)系式；
（2）先根據(jù)△AOP≌△OCD，得出OP=CD=t，進(jìn)而得到CP=10-t，BD=10-t，再根據(jù)S_△ADP=S_{正方形ABCO}-S_△AOP-S_△ABD-S_△CDP，可得當(dāng)0≤t≤10時(shí)，S=$\frac{1}{2}$t²-5t+50，最后配方，得S的最小值；
（3）①根據(jù)點(diǎn)Q落在⊙A上時(shí)t的值，以及點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，與點(diǎn)B重合時(shí)t的值，即可得到線段PQ與⊙A只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍，以及線段PQ與⊙A有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍；②證明線段與圓由2個(gè)公共點(diǎn)需要證明兩點(diǎn)：圓與線段所在直線相交（有2個(gè)公共點(diǎn)）；線段的兩端點(diǎn)都在圓外．

解答 解：（1）∵拋物線y=-（x-h）²+k經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，
∴根據(jù)對(duì)稱性可知h=5，
將B（10，10）代入y=-（x-5）²+k，可得10=-25+k，
解得k=35，
∴拋物線函數(shù)關(guān)系式為y=-（x-5）²+35；

（2）如圖1，∵OD⊥AP，∠AOP=90°，

∴∠OAP+∠AOD=∠COD+∠AOD=90°，
∴∠OAP=∠COD，
又∵∠AOP=∠OCD=90°，AO=OC，
∴△AOP≌△OCD，
∴OP=CD=t，
∴CP=10-t，BD=10-t，
∵S_△ADP=S_{正方形ABCO}-S_△AOP-S_△ABD-S_△CDP，
∴當(dāng)0≤t≤10時(shí)，S=10×10-$\frac{1}{2}$×10t-$\frac{1}{2}$t（10-t）-$\frac{1}{2}$×10（10-t）=$\frac{1}{2}$t²-5t+50，
配方，得S=$\frac{1}{2}$（t-5）²+$\frac{75}{2}$，
∴當(dāng)t=5時(shí)，S_min=$\frac{75}{2}$；

（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在⊙A上時(shí)，連接AQ，

∵PQ=12+t，PR=BC=10，
∴RQ=2+t，
又∵AQ=AB=10，AR=OP=t，
∴Rt△ARQ中，t²+（t+2）²=10²，
解得t₁=6，t₂=-8（舍去），
∴當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)Q落在⊙A上；
如圖，當(dāng)P在CB上時(shí)，CQ與⊙A相切，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，t=10；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，t=20；
∴當(dāng)0≤t＜6或10≤t≤20時(shí)，線段PQ與⊙A只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)6≤t＜10時(shí)，線段PQ與⊙A有兩個(gè)公共點(diǎn)；
②如圖，當(dāng)6≤t＜10時(shí)，AR=t＜10，

∴⊙A與直線PQ相交，
又∵AP²=AO²+OP²=100+t²，即AP＞10，
∴點(diǎn)P在⊙A外，
又∵AQ²=AR²+RQ²=t²+（t+2）²，r²=100，
∴AQ²-r²=t²+（t+2）²-100=2（t+1）²-98，
∴當(dāng)6≤t＜10時(shí)，2（t+1）²-98≥0，
∴點(diǎn)Q在⊙A上或⊙A外，
綜上所述，當(dāng)6≤t＜10時(shí)，線段PQ與⊙A總有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法的運(yùn)用，二次函數(shù)的最值，直線與圓的位置關(guān)系以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解這類問(wèn)題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．